Выражений

Интегрирование не всякого иррационального выражения возможно в элементарных функциях. В некоторых простейших случаях иррациональные функции можно рационализировать с помощью замены переменной, а значит и проинтегрировать в конечном виде.

1. Интегрирование функций вида R ( x, ,,…)

Здесь символ R указывает, что над величинами x, … выполняются только рациональные операции: сложение, вычитание, умножение, и деление. Например:

Пусть надо вычислить интеграл , где числа m, n, … могут быть и отрицательными. Подберём число N так, чтобы при замене переменной x = tⁿ все корни извлекались. (N – НОК чисел m, n,…). Тогда:

и =

Так как все числа ; N-1 – целые, то подынтегральная функция не содержит дробных степеней t, т.е. является дробно – рациональной функцией от t.

Пример 1:

Пример 2*:

Выбранная замена свела интеграл от иррационального выражения к интегралу от рациональной дроби. Разложим дробь на простейшие.

.

Найдем неизвестные коэффициенты:

Вернемся к старой переменной

2. Интегрирование выражений вида

Ничего не изменяется по сравнению с предыдущим случаем, если все подкоренные выражения являются одной и той же дробно – рациональной функцией. В этом случае делаем замену:

где N – наименьшее общее кратное чисел m, n,…

Находим х:

Здесь х = φ(t) – рациональная функция от t, поэтому – тоже рациональная функция. Значит и является рациональным выражением. Таким образом, получаем:

Здесь целые числа. Поэтому получили интеграл от дробно – рациональной функции от t.

Пример 1:

Пример 2:

Была сделана замена

3. Интегрирование выражений вида

Интеграл преобразуем к новой переменной, предварительно выделив полный квадрат:

Полагаем:

Тогда, если

то где

то где

то где

Полученные интегралы рационализируются, например, с помощью тригонометрических подстановок:

1.

2.

3. ,

Пример:

Пример 2:

Поиск по сайту: