 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Суммы Дарбу
Пусть функция f(x) ограничена, для любого x Î[a,b].
И пусть 
= inf f(x) – нижняя грань, 
= sup f(x) – верхняя грань.
Очевидно также, что в силу определения чисел и для любых 
имеет место неравенство: 
f( )
Отсюда следует справедливость неравенства: s 
S, где сумма s называется нижней, а сумма S - верхней суммой Дарбу.
Отметим следующие свойства сумм Дарбу:
1. Для любого разбиения 
на отрезке [a, b], точки можно выбрать так, чтобы выполнялись неравенства:
0 S - 
= sup f(x) x Î [ 
]
0 - s 0 - f( ) 
2. От добавления к отрезку [a, b] новых точек разбиения, нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.
Д – во:
= 
+…+ 
[ 
]+ 
[ 
]+…+ 
= inf f(x) [ 
]
= inf [f(x)] [ 
]
a 
b
3. Нижняя сумма Дарбу для любого разбиения не превосходит верхней суммы для любого другого разбиения.
Д – во:
4. Множество верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка ограничены снизу, а множество нижних сумм ограничены сверху.
Sup {s} inf {S} 
= sup{s} 
= inf {S}
Доказательство:
Предположим от противного: 
= - Найдутся такие 
и , что для некоторого разбиения 
и 
+ 
- 
А следовательно: - + - 0
Поиск по сайту: