Ограниченность интегрируемой функции
(необходимое условие интегрируемости)
Теорема: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то функция f(x) ограниченна на этом отрезке.
Доказательство:
Пусть функция f(x) интегрируема на [a, b], и
, что для , выполняется
(1).
Предположим противное. Пусть на [ ] функция не ограничена, значит
, что для
a b Очевидно, что (2).
a=
Зафиксируем какие – либо точки в остальных отрезках разбиения :
Тогда сумма (3). будет иметь определенное значение. Добавив к этой сумме слагаемое , получим интегральную сумму
причем в силу условия (2) и постоянства суммы (3) будем иметь
=
следовательно, для любого разбиения множество значений интегральной суммы неограничено. Поэтому неограничено и множество , , что противоречит неравенству (1).
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | Поиск по сайту:
|