АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Теорема об оценках определенного интеграла

Читайте также:
  1. I. 4.1. Первая теорема двойственности
  2. S-M-N-теорема, приклади її використання
  3. V2: ДЕ 39 - Интегральное исчисление функции одной переменной. Приложения определенного интеграла
  4. Б1 1.Системы линейных алгебраических уравнений (СЛУ). Теорема Кроникера-Капелли. Общее решение СЛУ.
  5. Базисный минор и ранг матрицы. Теорема о базисном миноре
  6. Билет 22Понятие евклидова пространства, неравенство Коши-Буняковского. Теорема Кронекера Капелли.
  7. Билет 5 Теорема Безу и следствия из неё. Основная теорема алгебры.
  8. В заданиях 1-8 вычислить значение определенного интеграла.
  9. Внешние эффекты (экстерналии). Теорема Коуза.
  10. Внешние эффекты и внешние затраты. Государственная политика в случаях их возникновения. Теорема Коуза.
  11. Внешние эффекты трансакционные издержки. Теорема Коуза
  12. Внешние эффекты, их виды и последствия. Теорема Коуза

 

1. Если функция интегрируема на отрезке (a<b), то .

Доказательство:

.

Каждое слагаемое интегральной суммы In неотрицательно, поэтому . Предел неотрицательной величины не может быть отрицательным.

 

2. Если f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке (a<b) и удовлетворяют на нём равенству , то

Доказательство:

Так как , то по свойству 1:

и .

 

3. Если функция f(x) интегрируема на (a<b) и существуют числа m и М такие, что во всех точках отрезка выполняется неравенство , то

.

Доказательство:

Проинтегрируем неравенство по отрезку .

или

, на основе свойств определенного интеграла, получим

.

 

 

4. Теорема о среднем для определённого интеграла.

Теорема. Если функция f (x) непрерывна на отрезке , то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка такая, что имеет место равенство:

Доказательство:

 

 

 

1) Пусть a<b. По теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция f (x) достигает на нём своего наибольшего М и наименьшего m значений: . Интегрируем это неравенство в пределах от а до b; по свойству 3 получим:

.

Делим на (b-a)>0:

.

Обозначим . Тогда . Так как функция f (x) непрерывна на отрезке , то она принимает любое промежуточное значение, заключённое между m и М. Поэтому h – одно из значений функции f (x) на : , где , т.е. (1)

или

2) Пусть a>b. Тогда

получим интеграл, где нижний предел меньше верхнего. Число , получаемое по формуле (1), называется средним значением функции на отрезке .

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)