 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Определенного интеграла
1.Площадь криволинейной трапеции
 |
Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a,b ], причём f (x) >0. Рассмотрим фигуру, ограниченную осью Ох, графиком y = f (x), и двумя прямыми: x = a и x = b.
Эта фигура называется криволинейной трапецией, отрезок [ a,b ] оси Ох – её основанием.
Найдём площадь этой фигуры. Разобьём отрезок [ a,b ] на n частей произвольным образом. Через точки деления х 1, х 2 ,…хn -1проведем прямые, параллельные оси Оу. Криволинейная трапеция при этом разбивается на n частей. Обозначим длины элементарных отрезков через Δ хk:
В каждом из элементарных промежутков возьмём произвольную точку 
:
.
Вычислим значения функции f (x) в этих точках:
Каждую элементарную полоску с основанием 
заменим прямоугольником с тем же самым основанием и высотой f () (k = 0, 1, 2,… n -1). Площадь каждого такого прямоугольника равна f () Δ хk.
При этом криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой, площадь которой равна сумме площадей элементарных прямоугольников:
или 
Ясно, что площадь Sn ступенчатой фигуры не равна площади криволинейной трапеции, а является лишь приближённым значением искомой площади. Очевидно, что это приближение будет тем более точным, чем меньше длина частичны интервалов (и больше n)
Если измельчать разбиение отрезка 
, то число промежутков возрастает и полоски становятся уже, т.е. ломаная линия будет теснее примыкать к кривой 
.
За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремиться Sn, когда разбиение отрезка делается сколь угодно мелким (если такой предел существует):
или
(1)
Здесь 
- наибольшая длина элементарного отрезка.
2. Работа переменной силы
Если сила 
постоянна и её направление совпадает с направлением перемещения, то работа равна A=Fs.
|
|
 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разобьём произвольным образом путь s=MN на n частей точками s 0, s 1, s 2,… sk, sk +1,… sn -1, sn. На каждом из частичных промежутков возьмём точку 
:
.
Обозначим 
.
Вычислим значение силы в каждой точке 
:
Если разбиение достаточно мелкое, то сила Fk сохраняет примерно постоянное значение но элементарном отрезке 
. При этом элементарная работа равна 
. Тогда работа силы при перемещении вдоль MN примерно равна сумме элементарных работ:
.
Равенство 
будет тем точнее, чем мельче разбиение промежутка MN (и больше n). Работа А определяется как предел An, при условии, что разбиение делается сколь угодно мелким:
(2)
Поиск по сайту: