Условие тождественности двух многочленов. Основная теорема алгебры

Рассмотрим многочлен степени n:

(8)

Здесь как коэффициенты, так и значения переменной х могут быть как действительными так и комплексными.

Каждое действительное или комплексное значение х ₀, которое обращает (x) в нуль, называется корнем этого многочлена:

Следовательно, корни многочлена (8) представляют собой решения алгебраического уравнения n – ой степени:

Формула Тейлора применима как для действительных многочленов, так и для многочлена (8):

(9)

Отсюда следует, что для того, чтобы точка х = х ₀ была корнем многочлена (x), необходимо и достаточно, чтобы свободный член разложения многочлена по степеням (х - х ₀) был равен нулю:

В этом случае многочлен можно представить в виде:

или (10)

Наоборот, если (x) из (8) можно представить в виде (10), т.е. (x) можно разделить на (х - х ₀) без остатка, то очевидно, что х = х ₀ есть корень (x). Таким образом, доказана теорема:

Теорема Безу: Для того, чтобы многочлен (x) имел корень х = х ₀, необходимо и достаточно, чтобы он делился на (х - х ₀), т.е. был представим в виде (10).

Если (x) = 0, а ^/ (x) 0 то корень х = х₀ называется простым.

В этом случае в формуле (10) (x ₀) 0 и, согласно теореме Безу, его нельзя разделить на х – х₀.

Если (x ₀) = ^/ (x ₀) = … = (x ₀) = 0, (x ₀) 0 , то х = х ₀ называется корнем кратности k.

Тогда формула Тейлора для (x) по степеням х – х₀ имеет вид:

где (11)

Если х= х ₀есть корень многочлена (x) кратности k, то многочлен делится на (х - х ₀) ^k.

Если значения двух многочленов совпадают для всех х , то эти многочлены имеют одинаковые коэффициенты.

Действительно, из (9) следует, что если , то коэффициенты обоих многочленов будут вычисляться по одним и тем же формулам:

Поиск по сайту: