Интегрирование с помощью замены переменной

Одним из самых сильных методов интегрирование является метод замены переменной.

Пусть надо вычислить интеграл

F(x)dx. (2)

Часто его можно упростить, введя вместо х новую переменную t, положив

x = φ(t) и dx = φ′(t)dt. (3)

Для преобразования неопределённого интеграла (2) к новой переменной t по формуле (3) достаточно преобразовать к новой переменной его подынтегральное выражение:

(4)

В формуле (4) предполагается, что ƒ(х) непрерывна на некотором промежутке оси Ох, а функции φ(t) и φ′(t) непрерывны на соответствующем промежутке изменения t. Это равенство надо понимать так: после интегрирования левой части по х и подстановки х = φ(t) мы должны получить тождество.

Для доказательства формулы (4) вычислим дифференциал от обеих частей:

и

.

Раз дифференциалы двух функций тождественно равны, то сами функции отличаются на постоянное слагаемое С. В этом смысле и надо понимать (4).

Замечание 1: Часто вместо подстановки (4) употребляют обратную:

; . (5)

Замечание 2: Так как

,

то, если ,

из (4) следует:

Таким образом, вид неопределённого интеграла не зависит от выбора аргумента интегрирования. Этот факт используется при интегрировании способом подведением под знак дифференциала.

Примеры:

Вообще:

Если в числе стоит производная знаменателя, то интеграл от дроби равен логарифму от модуля знаменателя.

2.5. Правило интегрирования по частям

Пусть функции u = u (x) и v = v (x) имеют непрерывные производные. Тогда по правилу дифференцирования произведения имеем:

Интегрируем обе части равенства по х:

. (7)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула сводит вычисление интеграла udv к вычислению интеграла vdu, который может оказаться проще исходного. При этом за u (x) обычно выбирают множитель подынтегрального выражения, который при дифференцировании упрощается, а за dv – множитель, который нетрудно проинтегрировать.

Пример 1: Вычислить неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

Пример 2:

Пример 3:

.

Интегрирование по частям приводит к успеху при интегрировании выражений вида:

,

Пример 4:

Применим ко второму интегралу еще раз формулу интегрирования по частям

Пример 5*:

Получили интеграл равный данному. Обозначив его за J,

получим равенство

Перенося J в левую часть равенства, имеем

Окончательно:

Поиск по сайту: