Курс теорії алгебри та початків аналізу

1. Что такое числовая окружность?

2. Перечислите признаки числовой окружности.

3. Какая величина принимается за единицу измерения при градусном измерении углов?

4. Что такое радиан?

5. По каким формулам переводят градусную меру угла в радианную и наоборот?

6. Выразите в радианах углы, равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°.

7. Почему ошибочна запись p = 180°?

8. При каком условии длина дуги равна ее радианной мере?

9. Какой угол называется углом поворота?

10. Какой угол поворота называется положительным? отрицательным?

11. Задайте формулой общий вид углов поворота.

12. Сформулируйте правило «полного оборота».

13. Какие функции называются тригонометрическими?

14. Дайте определение функции синус; косинус; тангенс; котангенс.

15. При каких углах не определен тангенс? котангенс?

16. Назовите значения тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°.

17. Какие значения может принимать синус? косинус? тангенс? котангенс?

18. Определите знаки тригонометрических функций в зависимости от того, в какой четверти находится аргумент.

19. Какие из тригонометрических функций являются четными, какие – нечетными?

20. Чему равен период синуса? косинуса? тангенса? котангенса?

Алгебраические функции — это функции, заданные аналитическим выражением, в записи которого используются алгебраические операции над числами и переменной (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

у = 2 х + 3,

Числовая прямая — это математическая модель для представления чисел, в которой каждое число соответствует точке на прямой, причем расстояние от точки до начала отсчета равно модулю числа:

Признаки числовой прямой:

1) начало отсчета;

2) единичный отрезок;

3) положительное направление (стрелка).

Чтобы решить простейшее тригонометрическое неравенство нужно:

1. Провести прямую к линии соответствующей функции.

2. Выделить дугу, на которой лежат решения неравенства.

3. Найти концы этой дуги, помня, что обход совершается против часовой стрелки от меньшего числа к большему.

4. Прибавить к концам интервала числа, кратные периоду функции.

Решить неравенство .

Решение.

Все решения, удовлетворяющие заданному неравенству, лежат на дуге l. Найдем ее концы:

С учетом периода синуса, запишем ответ:

.

Ответ:

Если правая часть уравнения — отрицательное число, то следует воспользоваться свойствами соответствующих обратных тригонометрических функций, тогда:

При а = 1; 0; –1 решение уравнения записывается в виде (n Î Z):

Единичная окружность — это окружность, радиус которой принят за единицу измерения.

Числовая окружность — это единичная окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности:

Указанное соответствие можно определить следующим образом: каждому числу a соответствует такая точка Р числовой окружности, чтобы дуга È ОР имела длину |a| и была отложена в положительном направлении если a > 0 и в отрицательном, если a < 0:

Признаки числовой окружности:

1) начало отсчета – правый конец горизонтального диаметра;

2) единичный отрезок – длина радиуса окружности;

3) положительное направление – против часовой стрелки.

Откладывать можно дуги какой угодно длины. То есть числовую окружность можно рассматривать как окружность радиуса 1, на которую «намотана» числовая прямая:

Угол в 1 ° — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна части окружности.

Угол поворота — это угол, полученный вращением луча около его начала О от начального положения ОА до конечного положения ОВ.

Угол в 1 радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Радианная мера угла численно равна пути, который проходит точка по дуге единичной окружности, на которую опирается этот угол:

Для связи радианов и градусов используют развернутый угол:

1. Говорят: «угол радиан» или чаще «угол». Обозначение «радиан» или «рад», как правило, опускают.

2. Термин «радианное измерение углов» равносилен термину «числовое измерение углов», т.е. фраза «угол a равен двум радианам» равносильна фразе «угол a равен числу 2» и даже «угол a равен двум». Поэтому вопрос типа «Чему равно?» некорректен. Нужно спрашивать: «Чему равен угол?» (60°) или «Чему равно число?» (» 1,05).

Арксинусом числа а называется такое число х из интервала , синус которого равен а.

Арккосинусом числа а называется такое число х из интервала [0; p], косинус которого равен а.

Арктангенсом числа а называется такое число х из интервала , тангенс которого равен а.

Арккотангенсом числа а называется такое число х из интервала (0; p), котангенс которого равен а.

1. Для отрицательных значений аргумента:

2. Из определения аркфункции сразу следует, что:

VI. Формулы половинного аргумента (знак – по функции в левой части):

VII. Формулы сумм:

VIII. Формулы произведений:

IX. Универсальная тригонометрическая подстановка:

X. Некоторые дополнительные формулы:

á Полный ñ оборот — это угол поворота, равный 2p рад (или 360°).

Некоторые положения конечной точки угла поворота:

Функция косинус — это функция, которая ставит в соответствие каждому числу t абсциссу точки М (t) координатной окружности.

Функция синус — это функция, которая ставит в соответствие каждому числу t ординату точки М (t) координатной окружности.

Если М (t) = М (х; у),
то х = cos t, у = sin t

Таким образом,

М (t) = М (cos t; sin t)

Запись М(t) показывает положение точки М на координатной окружности, а запись М(cos t; sin t) – положение той же точки на координатной плоскости.

Функция тангенс — это частное от деления функции синус на функцию косинус.

Функция котангенс — это частное от деления функции косинус на функцию синус.

Поскольку деление на нуль невозможно, функции tg t и ctg t определены не для всех значений аргумента. Тангенс определен лишь для значений аргумента, при которых cos t ¹ 0, котангенс определен при sin t ¹ 0:

Тригонометрические функции — это общее название функций синус, косинус, тангенс и котангенс.

I. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него:

II. Формулы (теоремы) сложения аргументов:

III. Формулы приведения:

1) функция меняется на кофункцию при переходе через вертикальную ось и не меняется при переходе через горизонтальную;

2) перед приведенной функцией ставится знак приводимой функции, считая a углом первой четверти.

IV. Формулы двойного аргумента:

V. Формулы понижения степени:

Значения тригонометрических функций
некоторых углов

таблица 1

						p
sin a							–1
cos a						–1
tg a					—		—
ctg a	—					—

Связь между тригонометрическими функциями
одного аргумента

таблица 2

Искомая функция	Выражение искомой функции через
sin a	cos a	tg a	сtg a
sin a =	sin a
cos a =		cos a
tg a =			tg a
сtg a =				сtg a

Тригонометрический набор координат:

у = sin x синусоида

у = cos x á ко ñ синусоида

у = tg x у = ctg x

тангенсоида á ко ñ тангенсоида

 

 

7. Свойства синуса и косинуса

 

 

Линия синусов	Область значений	Знаки по четвертям	Четность – нечетность
|sin t | £ 1		sin(– t) = –sin t

 

 

Линия косинусов	Область значений	Знаки по четвертям	Четность – нечетность
|cos t | £ 1		cos(– t) = cos t

 

Область определения
D (sin) = R	D (cos) = R
Область значений
E (sin) = [–1; 1]	E (cos) = [–1; 1]
Четность – нечетность
нечетная функция	четная функция
Периодичность
sin(x ± 2p) = sin x	cos(x ± 2p) = cos x

8. Свойства тангенса и котангенса

 

 

Линия тангенсов	Область значений	Знаки по четвертям	Четность – нечетность
tg t Î (–¥; +¥)		tg(– t) = –tg t

 

 

Линия котангенсов	Область значений	Знаки по четвертям	Четность – нечетность
ctg t Î (–¥; +¥)		ctg(– t) = –ctg t

 

Область определения
Область значений
E (tg) = (–¥; +¥)	E (ctg) = (–¥; +¥)
Четность – нечетность
нечетная функция	нечетная функция
Периодичность
tg(x ± p) = tg x	ctg(x ± p) = ctg x

 

Курс теорії алгебри та початків аналізу

(частина І)

Остер 2011

Укладач: Скидан С.І. - викладач загальноосвітніх дисциплін,

спеціаліст вищої категорії

Посібник містить короткі теоретичні відомості про тригонометричні, степеневі, показникові та логарифмічні функції, рівняння, нерівності та їх системи.

Модуль 1.

Лекція 1.

Тема: Функція та її властивості.

План.

1) Означення функції. Основні поняття-аргумент, функція.

2) Область визначення функції.

3) Множина значень.

4) Означення числової функції.

5) Способи задання функції.

6) Монотонність функцій.

7) Парні, непарні функції.

1.Світ-то різноманітність зв’язків між величинами: шлях і час, ціна і вартість, швидкість і шлях…

Означення: Залежність змінної у від змінної х називається функцією, якщо кожному значенню х відповідає одне єдине значення змінної у.

Позначення , де х - незалежна змінна, аргумент, у – залежна змінна або функція.

Наприклад: у=х².

2.Область визначення функції – множина значень, яких набуває незалежна змінна х.

Область визначення функції

№	Функція	Область визначення
	У=Ахn+Вхn-1+…+С - многочлен
	- дріб

Наприклад: область визначення функції - це проміжок

3.Множина значень або область значень – множина відповідних значень залежної змінної у, яких вона набуває при всіх х з області визначення функції.

Наприклад: знайдемо для функції у=х² множину значень. Виразимо х через у: , отже, .

4. Числовою функцією з областю визначення х називається залежність, при якій кожному числовому значенню х з множини Х поставлено у відповідність єдине число у.

Наприклад: - лінійна функція.

5.Способи задання функції:

1)формулою,

2) таблично,

3)графічно,

4) словесно,

5)аналітично.

6. Під монотонністю розуміють зростання або спадання функції на проміжку.

Якщо для будь-яких двох значень аргументу більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, то таку функцію називають зростаючою.

Наприклад: у=2х. Нехай х₂>х₁ належать області визначення функції, тоді у₂=2х₂ і у₁=2х₁. Складемо різницю у₂-у₁=2х₂-2х₁. х₂-х₁>0, отже у₂>у₁, функція зростаюча.

Якщо для будь-яких двох значень аргументу більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, то таку функцію називають спадною.

Наприклад: у=-3х+2. Нехай х₂>х₁ належать області визначення функції, тоді у₂=-3х₂+2, у₁=-3х₁+2. Складемо різницю у₂-у₁=3(х₁-х₂). х₂-х₁>0, отже у₂<у₁, функція спадна.

7. Функція називається парною, якщо для будь-якого х з області визначення функції (-х) також належить області визначення і виконується рівність .

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.

Наприклад: R. -парна.

Функція називається непарною, якщо для будь-якого х з області визначення функції (-х) також належить області визначення і виконується рівність .

Значення непарних функцій для протилежних значень аргументу – протилежні.

Графіки непарних функцій симетричні відносно початку координат.

Лекція 2.

Тема: Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень.

План.

1) у

у=х²

х

у=-х²

Дано:

Побудувати:

Алгоритм: 1) графік

2) симетрія відносно осі ОХ.

3) - шуканий.

2)

у

х

Дано:

Побудувати:

Алгоритм: 1) графік

2) симетрія відносно осі ОУ.

3)

у

х

Дано:

Побудувати:

Алгоритм: 1) графік

2) симетрія відносно осі ОУ.

3) і - шуканий графік.

4)

у

х

Дано:

Побудувати: .

Алгоритм: 1) графік

2)симетрія відносно осі ОХ тієї частини графіка, що під віссю ОХ.

3) об’єднання частин графіка, що лежать над віссю ОХ є графіком .

у

5)

х

Дано:

Побудувати: .

Алгоритм: 1) графік

2) паралельне перенесення вздовж осі ОУ

«-b» - вниз; «+b» - вгору.

6).

У

-3 0 4 х

Дано:

Побудувати: .

Алгоритм: 1) графік

2) паралельне перенесення вздовж осі ОХ

«-а» - вправо; «+а» - вниз.

7) у у=х³

х

у=3х³

Дано:

Побудувати: .

Алгоритм: 1) графік

2) розтягти в а раз від осі ОХ при а>1, стиснути в а раз до осі ОХ, коли а<1.

8)

у

х

у

х

Дано:

Побудувати: .

Алгоритм: 1) графік

2) стиск до осі ОУ в а раз, якщо а>1; розтяг від осі ОУ в а раз, якщо а<1.

Лекція 3.

Тема: Тригонометричні функції кута. Радіанна міра кутів і дуг. Тригонометричні функції числового аргументу. Періодичність тригонометричних функцій.

План.

1. Із історії тригонометрії.

2. Тригонометричні функції кута.

3. Вимірювання кутів і дуг.

4. Тригонометричні функції числового аргументу.

5. Періодичність тригонометричних функцій.

Слово тригонометрія походить від грецьких trigonon — трикутник і metreo — міряю. Інакше кажучи, це — наука про вимірювання трикутників.

Термін тригонометрія вперше трапляється в назві книжки німецького математика Бартоломея Пітиска (Рі-tiscus) (1561-1613), виданої в 1595 p., хоч наука бере свої початки з глибокої давнини разом з астрономією. Перші таблиці хорд різних центральних кутів у крузі постійного радіуса склав у середині II ст. до н. є. грецький астроном і математик Гіппарх. Основні теореми сферичної тригонометрії відкрили вчені Ал-Батані (IX ст.), Ібн Арак із Хорезма (X ст.), Абул-Вафой із Хорезма й Ал-Ходо-пані (X ст.). У XIII ст. математик Ат-Тусі відділив тригонометрію як науку від астрономії.

Дуже глибокий вплив на розвиток тригонометрії як окремої гілки математики справив Регіомонтан (Й. Мюллер): його «П'ять книг про трикутники всіх видів» (1462-1464 pp.) стали першим підручником тригонометрії.

Теорему синусів відкрив Брахма-гупт у XII ст., теорему косинусів довів Ал-Біруні (X ст.) і знову відкрив Ф. Вієт у XVI ст. Формули, що виражають sin 2а, cos 2а через tg а, вивів Й.-Г. Ламберт (1765 p.). JI. Ейлер увів позначення sin x, cos х, tg x, став позначати кути великими буквами, а малими — сторони.

У XVII ст. тригонометричні функції почали застосовуватися до розв'язування рівнянь, задач механіки, оптики, електрики, радіотехніки. Тому тригонометричні функції глибоко досліджувалися.

Таким чином, тригонометрія, яка виникла як наука про розв'язуван­ня трикутників, з часом розвинулася в науку про тригонометричні функції.

Поиск по сайту: