Применение МКЭ для расчета стержневых систем

Расчет стержневых систем с помощью МКЭ приводит к тем же уравнениям, что и обычный метод перемещений, хотя подходы к их построению несколько отличаются по форме.

При этом КЭ рамы с 6 степенями свободы имеет на концах два узла, в каждом из которых введено по три связи – две линейных и одной моментной.

Матрица жесткости такого КЭ имеет 6 порядок и ее элементами являются реакции r_ij в шести введенных связях от единичных смещений этих связей.

Компонентами вектора приведеннойузловой нагрузки являются взятые со знаком минус реакции во введенных связях от приложенной к КЭ нагрузки, которые, в отличие от МП будем обозначать не R_ip ⁰, а r_ip ⁰:

{ P _э}= – [ r _{1 p} ⁰, r _{2 p} ⁰, …, r _{6 p} ⁰]^Т,

где индексом «т» обозначена операция транспонирования.

Балочный конечный элемент, на примере которого мы рассмотрим процедуру анализа, имеет только четыре степени свободы. В качестве неизвестных такого КЭ выбирают неизвестные прогибы и углы поворотов в начальном и конечном сечениях, как и в обычном методе перемещений (рис. 7.1, а).

Анализ КЭ заключается в определении реакций во введенных связях { S _э}= [ S ₁, S ₂, S ₃, S ₄]^Т от кинематических воздействий { Z _э}= [ Z ₁, Z ₂, Z ₃, Z ₄]^Т и от действующей местной нагрузки. Первая зависимость имеет вид:

{ S _э} = [ R _э]{ Z _э}.

Для построения матрицы жесткости [ R _э] рассмотрим КЭ при единичных кинематических воздействиях (рис. 7.1, б), объединив соответствующие им функции формы в матрицу-строку:

[ N ] = [ N ₁(x), N ₂(x), N ₃(x), N ₄(x)].

Этим функциям формы соответствуют уже известные эпюры моментов, приведенные на рис. 6.4 и 7.1, в, которые также объединим в вектор:

{ M } = [ M ₁(x), M ₂(x), M ₃(x), M ₄(x)]^Т.

Учитывая, что для принятой системы координат зависимость между изгибающими моментами и прогибами имеет вид

M (x) = – EJ v'' (x),

можно записать:

{ M } = – EJ [ N '' ]^Т. (7.2)

Воспользовавшись соотношением (6.4):

r_ij = r_ji = Sò(`M<sub>i</sub> <sup>0</sup> · `M_j ⁰/ EJ) ds,

получим с учетом (7.2):

[ R _э] = (1/ EJ) ∫{ M }{ M }^Т dx = EJ ∫ [ N '' ]^Т[ N '' ] dx. (7.3)

Для построения вектора приведеннойузловой нагрузки учтем, что на основании принципа суперпозиции уравнение изогнутой оси КЭ можно представить в виде:

v (x) = Σ N_i (x) · Z_i = [ N ]{ Z _э}. (7.4)

Поэтому, дополнив соотношение (6.5) работой распределенной нагрузки, приложенной к КЭ, и сменив обозначения, получим:

r_ip ⁰ = – [S P_k · N_ik + ∫ q (x) · N_i (x) dx ].

Таким образом, искомый вектор приведеннойузловой нагрузки равен:

{ P _э}= S P_k ·[ N _k ]^Т + ∫ q (x) [ N ]^Т dx. (7.5)

Как видим, анализ КЭ сводится в конечном итоге к построению матрицы функций формы. Помимо методов, упомянутых в параграфе 6.3, эти функции можно, например, построить следующим способом.

Представим уравнение изогнутой оси КЭ в виде полинома:

v (x) = [ H ] { a }, (7.6)

где [ H ] = [1, x, x ², x ³], а { a } = [ a ₁, a ₁, a ₁, a ₁]^Т.

Приравнивая (7.4) и (7.6) в узловых точках КЭ, то есть x ₁ = 0 и x ₂ = l, получим:

Z ₁ = v (0) = 1 + a ₁ x ₁ + a ₂ x ₁² + a ₃ x ₁³;

Z ₂ = v' (0) = a ₁ + 2 a ₂ x ₁ + 3 a ₃ x ₁²;

Z ₃ = v (l) = 1 + a ₁ x ₂ + a ₂ x ₂² + a ₃ x ₂³;

Z ₄ = v' (l) = a ₁ + 2 a ₂ x ₂ + 3 a ₃ x ₂²,

или иначе

{ Z _э} = [ L ] { a },

где [ L ] = [[ H (x ₁)]^T, [ H' (x ₁)]^T, [ H (x ₂)]^T, [ H' (x ₂)]^T]^Т.

Обратная зависимость

{ a } = [ L ]^–1{ Z _э}

после подстановки в (7.6) приводит с учетом (7.4) к искомой формуле:

[ N ] = [ H ] [ L ]^–1. (7.7)

В скалярной форме последняя зависимость имеет вид:

N ₁(x) = 1 – 3ξ² + 2 ξ³;

N ₂(x) = l (ξ – 2 ξ² + ξ³);

N ₃(x) = 1 – 3η ² + 2η ³;

N ₄(x) = l (– η + 2η ² – η ³),

где ξ = x / l, η = (l – x)/ l.

Подставляя (7.7) в (7.3), получим искомую матрицу жесткости КЭ балки:

[ R _э] = EJ ∫ [ N¢¢ ]^T×[ N¢¢ ] dx = (EJ / l) .

Вектор приведенной узловой нагрузки находим по формуле (7.5). Для постоянной равномерно распределенной нагрузки q (x) = q он имеет вид:

{ P _э} = [ P ₁, P ₂, P ₃, P ₄]^Т = (ql /12)[ 6, l, 6, – l ]^Т.

Поиск по сайту: