Интеграл Мора-Максвелла

С помощью (3.15) нетрудно получить формулу для определения перемещения i -ой точки упругой системы от приложенной нагрузки.

Рассмотрим два состояния системы: первое – от заданной нагрузки и второе – от единичной силы или единичного момента, приложенных в точке i в направлении искомого линейного или, соответственно, углового перемещения – (рис. 3.11). Обычно первое из этих состояний называют действительным, а второе – возможным или виртуальным.

Рис.3.11

Обозначим через D _ip искомое перемещение точки i – в нашем примере на рис. 3.11, а – это вертикальное линейное перемещение.

Пусть M_p, Q_p, N_p – внутренние усилия первого состояния, а `M<sub>i</sub>, `Q_i, `N_i – внутренние силы второго состояния.

Воспользовавшись теоремой Бетти:

A ₁₂ = A ₂₁,

где

A ₂₁ = P_i ×D _ip = 1×D _ip = D _ip,

а

A ₁₂ = – W ₁₂,

получим с помощью (3.15) искомую формулу для определения перемещений, которая называется интегралом Мора-Максвелла:

D _ip = Sò (M_p`M<sub>i</sub> / EJ + m Q<sub>p</sub>`Q_i / GF + N_p`N_i / EF) ds. (3.16)

Таким образом, для определения линейного (углового) перемещения точки i упругой системы в заданном направлении от заданной нагрузки необходимо:

– построить эпюры M_p, Q_p, N_p в заданной системе от заданной нагрузки;

– построить эпюры `M<sub>i</sub>, `Q_i, `N_i от единичной силы (единичного момента), приложенной в точке i в направлении искомого перемещения;

– вычислить интеграл (3.16).

Отметим, что перемещения в балках и рамах определяются в основном изгибными деформациями, поэтому для таких систем вместо (3.16) можно воспользоваться формулой:

D _ip = Sò (M_p`M_i / EJ) ds. (3.17)

Наоборот, в фермах отсутствуют изгибающие моменты и поперечные силы, поэтому перемещения здесь полностью определяются продольными деформациями:

D _ip = ò (N_p`N<sub>i</sub> / EF) ds= S(N<sub>pk</sub> `N_ik / EF_k) l_k, (3.18)

где l_k и EF_k – соответственно длина и продольная жесткость k -го стержня фермы.

Примечания:

1. Вычисление интеграла (3.17) условно называют перемножением эпюр M_p и `M<sub>i</sub> и записывают это в виде: D <sub>ip</sub> = (M<sub>p</sub> ´ `M_i).

2. При вычислении перемещений, как правило, пренебрегают деформациями сдвига.

3. При выводе формулы (3.16) нигде не предполагалось, что заданная система является статически определимой, поэтому эта формула верна как для СОС, так и для СНС. Тем не менее, в названии главы фигурируют только СОС поскольку, во-первых, пока в нашем распоряжении нет удобного метода определения внутренних усилий в СНС, а во-вторых, для последних систем формулу (3.16) можно упростить.

Поиск по сайту: