Примеры определения перемещений

Рассмотрим примеры определения перемещений в СОС от действующей нагрузки. Во всех случаях изгибная жесткость элементов системы – EJ и их продольная жесткость – EF предполагаются известными.

Пример 3.1. Определить максимальные прогибы балки (рис. 3.14, а).

Рис.3.14

Решение. В соответствии с формулой (3.17) строим эпюру M_p от заданной нагрузки (рис. 3.14, б) и эпюру `M_i от единичной силы, приложенной в середине балки (рис. 3.14, в).

Вычислим интеграл (3.17) по формуле Верещагина. На всем промежутке [0 ,l ] эпюра M_p является однозначной, то есть отвечает предъявляемым к ней требованиям, а эпюра `M<sub>i</sub> на всем промежутке [0 ,l ] будет нелинейной. Поэтому область интегрирования делим на два участка: [0, l /2] и [ l /2, l ], на каждом из которых `M_i (x) будет линейной. С учетом симметрии получим:

v _max = D _ip = 2 (w₁× y_{c 1})/ EJ = 2 [(2/3)×(l /2)×(ql ²/8)]×[(5/8)×(l /4)] = 5 ql ⁴/384 EJ.

Для того чтобы получить тот же результат с помощью интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки, нужно затратить примерно втрое больше усилий – хотя бы потому, что придется находить угол поворота балки в ее начальном сечении – q₀.

Формально воспользовавшись для всего промежутка [0 ,l ] формулой Симпсона (3.21), и учитывая, что значения M_p и `M_i на его концах равны нулю, получим:

v _max = (l /6 EJ)×4(ql ²/8)×(l /4) = ql ⁴/48 EJ.

Найденный результат оказался неверным, поскольку на всем промежутке [0 ,l ] подынтегральная функция f (x) = M_p (x) × `M_i (x) не отвечает требованиям, предъявляемым к ней этой формулой. ·

Пример 3.2. Найти линейное и угловое перемещения точки A на конце Г-образной консольной рамы, у которой жесткость стойки вдвое больше жесткости ригеля (рис. 3.15, а).

Рис.3.15

Решение. Строим эпюру M_p от заданной нагрузки и эпюры `M_i от единичных сил и моментов, приложенных в точке A (рис. 3.15, б-д).

Определяем вертикальное перемещение точки А, перемножая эпюры M_p и `M ^в:

D^в = (M_p ´ `M ^в) = (1/ EJ) w₁× y ₁ + (1/2 EJ) w₂× y ₂ = (1/ EJ)[(1/3)× l ×(ql ²/2)]×(3/4) l +

+ (1/2 EJ) [ l ×(ql ²/2)]× l = (3/8)(ql ⁴/ EJ).

Находим горизонтальное перемещение точки А:

D^г = (M_p ´ `M ^г) = (1/2 EJ) [ l ×(ql ²/2)]×(l /2) = (1/8)(ql ⁴/ EJ).

Полное перемещение точки А составит:

___________ __

D _А = Ö (D^в)² + (D^г)² = (Ö10 ql ⁴)/8 EJ.

Угол поворота сечения в точке А будет равен:

q _А = (M_p ´ `M ^у) = (1/ EJ) w₁×1 + + (1/2 EJ) w₂×1 = (1/ EJ)[(1/3)× l ×(ql ²/2)]×1 +

+ (1/2 EJ) [ l ×(ql ²/2)]×1 = (5 ql ³/12 EJ). ·

Рассмотренный пример наглядно показывает, почему при определении перемещений в рамах мы пренебрегаем продольными деформациями. Вертикальное перемещение точки А от заданной нагрузки в основном определяется изгибом ригеля, изгибом стойки и только в очень незначительной степени – ее сжатием.

Пример 3.3. Найти угол поворота сечения на правой опоре рамы, рассмотренной в примере 2.5, полагая EJ = const (рис. 2.9, а).

Рис.3.16

Решение. Воспользуемся уже построенной ранее эпюрой M_p от заданной нагрузки (рис. 2.9, б) и (рис. 3.16, а), и умножим ее на эпюру `M<sub>i</sub> от единичного момента (рис. 3.16, б). На левой стойке и ригеле эпюра M<sub>p</sub> представлена тремя треугольниками с равной площадью w<sub>тр</sub> = (1/2)× l ×(ql <sup>2</sup>/4), которые умножаются на три одинаковых треугольника в эпюре `M_i.

Нестандартную эпюру M_p на правой стойке с площадью w_пар представим суммой стандартных эпюр: параболы с площадью w₁ и треугольника с площадью w₂ (рис. 3.16, в).

Поскольку перемножаемые эпюры расположены на разных волокнах, результат получится со знаком минус. Как и при определении опорных реакций, это означает, что действительное направление угла поворота будет противоположно направлению, указанному на рисунке:

q _В = (M_p ´ M_i) = (1/ EJ) [(–3) w_тр× y _тр - w_пар× y _пар] = – (1/ EJ) [3w_тр× y _тр+w₁× y ₁+

+w₂× y ₂] = – (1/ EJ) {3 [(1/2)× l ×(ql ²/4) ]×[(2/3)×(1/2)] + [(2/3) × l ×(ql ²/8)]× ×[(1/2)(1/2+1)] + [(1/2) l (ql ²/4) ]×[(2/3)(1/2) + (1/3)×1]} = – (11 ql ³) / (48 EJ). ·

Пример 3.4. Определить вертикальное перемещение указанного узла фермы от заданной нагрузки, полагая EF = const (рис. 3.17, а).

Поиск по сайту: