Критерий Вилкоксона

Данный критерий используется как непараметрический критерий, при

любом типе распределения. Критерий Вилкоксона относится к ранговым

критериям, причем присваиваемые значения признака (ранга) могут

быть как положительными, так и отрицательными.

Наблюдения снимаются дважды: до эксперимента и после эксперимента.

Под экспериментом понимается некоторое воздействие на объект, в результате

которого наблюдаемые показатели могут измениться в ту или иную сторону:

например, прием лекарственного препарата или определенная методика лечения

приводят к некоторым изменениям контролируемых показателей. При этом у

различных индивидуумов данные изменения также будут различными. Задача

критерия ― по статистическим данным установить эффективность

воздействия. Поскольку изменения показателя у каждого объекта могут быть

вызваны самыми разными случайными причинами, а нас интересует влияние

именно нашего эксперимента, то для того, чтобы исключить случайные

воздействия, требуется рассматривать группу объектов. И чем больше объем этой

группы, тем более взаимно сокращаются положительные и отрицательные

случайные отклонения и, наоборот, ярче проявляются отклонения

систематические, вызванные эффектом эксперимента.

Группа наблюдений до эксперимента выступает в роли контрольной группы,

а группа наблюдений после эксперимента ― в роли экспериментальной группы.

Однако в данной ситуации мы располагаем гораздо большей информацией,

чем информация из двух произвольных групп наблюдения: парные данные

выдают непосредственно для каждого объекта зависимость наблюдаемого

показателя от произведенного воздействия (возросло значение показателя

или уменьшилось и на сколько единиц измерения). В качестве наблюдаемого

значения удобно использовать разность наблюдаемых показателей до и после

эксперимента для каждого индивидуума.

Таким образом, из двух групп наблюдений получается одна выборка значений,

среди которых могут быть как положительные (уменьшение показателя),

так и отрицательные (увеличение показателя). При нулевой разнице

наблюдение не учитывается. Далее производится ранжирование выборки,

причем несколько иначе, чем, например, в критерии Манна-Уитни, где

используется простое упорядочивание. В нашем случае, прежде чем

приступить к упорядочиванию выборочных значений, их вначале

заменяют соответствующими абсолютными величинами, а затем

полученные положительные числа ранжируют по возрастанию.

Расставленные таким образом ранги изменения показателя являются

промежуточными, далее каждому рангу приписывается знак «+» или «-» в зависимости

от знака соответствующей ему разности. Значит, часть рангов окажется

положительными числами, а другая часть ― отрицательными. Такие

ранги называются «знаковыми». Сумма знаковых рангов

― случайная величина W, называемая «критерий Вилкоксона».

В случае когда исследуемое воздействие неэффективно, количество

положительных и отрицательных разностей (а также и знаковых рангов)

в среднем должно уравновешиваться, так как нет превалирующего

изменения показателя в ту или иную сторону. Следовательно, среднее значение

критерия Вилкоксона W должно быть равно нулю (нулевая гипотеза).

Далее действия стандартны: для конкретной выборки разностей

вычисляем Wh_набл. По специальной таблице находим соответствующие

критические точки (с учетом желаемого уровня значимости) и определяем

принадлежность W_набл. критической области или области принятия нулевой гипотезы.

Критерий Вилкоксона может применяться в медицинской практике при

оценке, например, эффективности новых методов медикаментозной

терапии, диеты, эффективности хирургических вмешательств и т.д.

Таким образом, критерий Вилкоксона игнорирует вид распределения,

и его выводы справедливы при любом виде распределения.

Критерий Краснела ― Уоллиса (проверка однородности нескольких групп)

Если генеральная совокупность имеет распределение, отличное от

нормального, то требуются критерии проверки однородности групп, которые не

зависят от вида закона распределения (т.е. от всевозможных параметров). В

частности, непараметрическим аналогом дисперсионного анализа является

критерий Краснела―Уоллиса, основанный на рангах.

Итак, однородность групп наблюдения – это нулевая гипотеза. Для построения

критерия проверки нулевой гипотезы используем ранги. Общее число наблюдений

по всем группам обозначим N:

N= п ₁ + n₂ + п₃ +... + n_k,

где п _1, n₂… +... + n_k, ― числа элементов по группам соответственно.

Упорядочим все N элементов независимо от группы по возрастанию.

Тогда каждый из элементов получает свой ранг ― номер места в упорядоченном

ряду. Если среди элементов ряда имеются совпадающие, то всем им присваивается

один и тот же ранг, равный среднему арифметическому их номеров, мест

упорядоченного ряда. Заметим, что сумма всех N рангов, согласно

формуле суммы арифметической прогрессии, равна:

.

Далее вычислим средние ранги по группам как средние арифметические

соответствующих величин. Аналогично общий средний ранг равен:

Если верна нулевая гипотеза, выборки однородны, то сами наблюдения, а

следовательно, и ранги должны быть по величине рассредоточены по группам

более или менее равномерно, т.е. средние ранги не должны существенно

различаться между собой. При их сравнении можно использовать отклонения

от общего среднего:

Для суммарной характеристики таких отклонений с учетом численности

групп введем случайную величину

,

называемую статистикой Краскела—Уоллиса.

Эта статистика Н ― критерий проверки нулевой гипотезы.

Его структура такова, что распределение Н с ростом численности групп

стремится к распределению ²с (k-1) степенями свободы (действительно,

распределения средних стремятся к нормальному распределению);

разности также распределены нормально; сумма квадратов таких

величин имеет распределение ², а соответствующие значения параметров,

необходимых

для этого распределения, обеспечивают сомножители .

Фактически, при численности каждой из групп 5 элементов уже

обеспечивается удовлетворительное приближение. Итак, подставляя

данные в приведенную выше формулу критерия Н, получаем Н_набл .Критическую

точку распределения х² с Z = (k- 1) степенями свободы находим при выбранном

уровне значимости по специальной таблице. Если оказывается, что Н_набл меньше

²_крит, то на выбранном уровне значимости нулевая гипотеза об однородности

выборок принимается (опытные данные этой гипотезе не противоречат).

Если же Н_набл. больше ²_крит, то нулевая гипотеза об однородности групп

наблюдений отвергается, и группы следует сравнивать попарно.

Критерий Краскела-Уоллиса используется в практической медицине

при оценке эффективности различных лекарственных препаратов, методов лечения и т.д.

Поиск по сайту: