Дискриминантный анализ

Дискриминантный анализ позволяет построить так называемые решающие

правила на основе оптимального набора диагностических признаков и определить

группы больных, здоровых и группы риска. Цель дискриминантного анализа

состоит в формировании одной или нескольких групп (классов) на основании

выборок из генеральных совокупностей и выработке определенного решающего

правила, с помощью которого производится отнесение вновь поступающих

индивидуумов к какой-либо из указанных групп (классов).

Дискриминантный анализ иногда называется кластер-анализом, или

таксономией, или задачей автоматической классификации. Цель задачи:

формирование индивидуумов в одно родные классы (группы, кластеры,

таксоны), когда характеристики и число классов не заданы. При этом

элементы внутри классов должны быть «сходны» между собой, а между

классами ― «различны». Этот вид задач иногда называется «распознаванием

образов с обучением». Решение задачи состоит из двух этапов: этапа

обучения, т.е. выработки решающего правила, и собственно этапа

дискриминации (распознавания), т.е. отнесения вновь поступающих

индивидуумов при помощи правила, выработанного на первом этапе, к

соответствующей группе.

Перечень вопросов задачи должен раскрывать причины, вызывающие

осложнения. Затем формируется обучающая последовательность: к одному

классу этой последовательности относят тех больных, которые прошли курс

лечения, не имея осложнений, к другому ― больных, перенесших

осложнения. По этой последовательности строится решающее правило,

которое, учитывая индивидуальные особенности больного, прогнозирует

возможные осложнения при проведении лечения.

С этой целью составляется анкета, учитывающая индивидуальные особенности

больного и особенности течения его заболевания. По такому вопроснику

составляется обучающая последовательность (класс): для каждого метода

лечения отбирается группа больных, для которых известен результат лечения.

При этой обучающей последовательности строится решающее правило,

прогнозирующее попадание каждого больного после лечения в соответствующую

группу (класс). Наличие решающего правила для каждого метода

лечения дает возможность выбора с учетом наиболее благоприятных

прогнозов результатов лечения.

Таким образом, при решении перечисленных выше задач прослеживается

одна и та же схема: специалисты-врачи оценивают состояние больного по

субъективным симптомокомплексам, получая при этом многочисленную

информацию, которая должна подлежать классификации (т.е.

распределению по соответствующим классам). Классы образуют

так называемые обучающие последовательности, на основе которых

строится нужное решающее правило, т.е. решается задача дискриминации.

Проблема классификации состоит в объединении индивидуумов в группы

или классы по результатам клинического, социологического,

психофизиологического, санитарно-гигиенического исследования.

Математическое аналитическое представление о классах (группах) основано

на понятиях близости или расстояния между отдельными индивидуумами.

Введение некоторой метрики, определяющей расстояние между

двумя точками (индивидуумами), дает возможность установить расстояние,

при котором две точки считаются «близкими» или «далекими».

Исходная информация приводится в виде матрицы-таблицы, у которой

каждый объект (индивид), или так называемая операбельная таксономическая

единица ― ОТЕ (будем обозначать его буквой Y) рассматриваемой

совокупности (например, больной или здоровый), представлен в виде строки.

Общее число строк равно числу объектов, подлежащих классификации.

Пусть это число индивидов равно n. Каждый индивид описывается, как уже

было указано, кодированными данными (будем обозначать их буквами

X с индексами). Пусть общее число признаков равно р. Тогда мы исходную

информацию всегда можем представить в виде таблицы.

Для решения задачи классификации необходимо прежде всего количественно

определить понятия сходства и разнородности. Что означает, например,

«два объекта Y i, и Y _j различны»? Задача была бы решена, если бы два

объекта Y _i и Y _j, попадали в один и тот же класс всякий раз, когда

расстояние (отдаленность) между соответствующими точками было

бы «достаточно малым», и, наоборот, попадали бы в разные классы, если

бы расстояние между точками было бы «достаточно большим».

Основную единицу, используемую в каком-либо определенном

исследовании классификаций, обычно называют операбельной таксономической

единицей (ОТЕ), или единицей наблюдения. Это составной элемент объекта,

являющийся носителем признаков, подлежащих регистрации, и основой

счета. В медицинских исследованиях это, как правило, индивид (больной,

умерший, родившийся, здоровый человек). Иногда единица наблюдения

совпадает с единицей совокупности (например, при переписи населения).

Единица совокупности ― первичный объект статистического наблюдения,

являющийся носителем изучаемых признаков. Численность единиц

совокупности определяет ее объем (п) и распространенность изучаемого

явления, т.е. статистическая совокупность ― это группа фактов, событий,

обладающих варьирующими признаками, но объединенных единой качественной

основой (сущностью).

Основные этапы, на которые распадается процедура формирования классов,

состоят в следующем:

Выбирают п индивидов (n ОТЕ), подлежащих классификации, и по

каждому из них исследуют и кодируют соответствующее число

признаков. Если признаков мало, то классификация очень

«чувствительна» к произвольному выбору признаков.

Сравнивают всех индивидов (ОТЕ) друг с другом для определения

сходства или различия с помощью признаков. Один из

простейших показателей сходства некоторой пары индивидов

(ОТЕ) ― доля признаков, которые у них совпадают. Множество

измеренных коэффициентов сходства можно представить в виде матрицы.

На основе матрицы вычисленных коэффициентов сходства

можно распределить всех индивидуумов по классам. Каждый индивид имеет

«сходство» с другими индивидами внутри класса и «отличен» от индивидов

других классов. В некоторых случаях, объединяя по несколько классов в

группы более высокого ранга, можно получать иерархическую структуру.

Последний этап ― проверка правильности классификации

путем прогнозирования для новых индивидов (ОТЕ), т.е., по существу,

решение задачи дискриминации.

Поиск по сайту: