АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Образец выполнения индивидуальной домашней работы (ИДР)

Читайте также:
  1. I. КУРСОВЫЕ РАБОТЫ
  2. I. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
  3. II. ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ
  4. II. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
  5. II. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
  6. III. Задания для самостоятельной работы по изучаемой теме.
  7. III. Задания для самостоятельной работы по изучаемой теме.
  8. III. Задания для самостоятельной работы по изучаемой теме.
  9. III. Задания для самостоятельной работы по изучаемой теме.
  10. III. Задания для самостоятельной работы по изучаемой теме.
  11. III. Задания для самостоятельной работы по изучаемой теме.
  12. III. Требования охраны труда во время работы

 

1) Пользуясь свойствами определителей, доказать тождество = 0

Решение. Пользуясь свойствами определителей 7), 4) и 6), получим

 

= + = x× +2x× = 0 + 0 = 0.

 

2) Дано: А = . Найти АТ; А×АТ и ½А½.

Решение.

1) АТ = ; 2) А×АТ = × = = ; 3) ½А½= = = =2× = 2× = 2× = 2×(-12) = -24.

 
 


3) Решить квадратную СЛАУ .

а) матричным способом;

б) по формулам Крамера.

3а) Решение квадратной СЛАУ матричным способом

В этой СЛАУ А= .

α) Методом элементарных преобразований найдем обратную матрицу А-1:

(A|E) = ~ ~ ~

~ -3 ~ ~ Þ А-1=

β) Проверка: А-1×А = × = = Е

γ) По формуле (4.3) находим решение СЛАУ:

Х=А-1×В Þ = × Þ х1 = 1; х2 = 2; х3 = -1

δ) Проверка. Подставляя значения х1 = 1, х2 = 2, х3 = -1 в исходную систему уравнений, получим

2×1+3×2+5×(-1)=3 Û 3º3

1+2+(-1)=2 Û 2º2

1+3×2-2×(-1)=9 Þ 9º9

Ответ: х1 = 1, х2 = 2, х3 = -1.

3б) Решение квадратной СЛАУ по формулам Крамера:

Главный определитель системы равен

D= = = = = 9 ¹ 0 Þ данная СЛАУ имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера.

D1 = = - = - = - = = 9 Þ

Þ х1 = = 1.

D2 = = = = - = 18 Þ х2 = = 2.

 

D3 = = = = - = -9 Þ х3 = = -1.

 

Ответ: х1 = 1, х2 = 2, х3 = -1.

4) Выполнить действия над матрицами: (А-1)2 + В×А, если А= , В= .

а) Методом элементарных преобразований над строками найдем обратную матрицу А-1.

Решение: а) АЕ=(A|E)= -1 ~ ~ ~ ~ -1 ~

~ ~ Þ ÞА-1= .

Проверка: А-1×А = × = = Е;

б) (А-1)2 = × = ;

в) В×А = × = ; г) (А-1)2 + В×А = + = = .

5) Найти значения l, для которых существует обратная матрица А-1, если А= .

Решение. Обратная матрица А-1 существует, когда исходная матрица А является невырожденной, то есть ее определитель |А| ¹ 0. Найдем значения l, при которых определитель |А| = 0 и, исключив их, определим те значения l, при которых обратная матрица А-1 существует. Для этого разложим определитель данной матрицы по 3–му столбцу, так как он содержит только один ненулевой элемент (λ–2):

= (-1)6×(l-2) = (l-2)×((l-2)2 -1) = 0

а) l = 2; б) (l-2)2 - –1 = 0 Þ l2 - 4l + 3 = 0 Þ = 1; 3.

Таким образом, при l = 1; 2; 3 обратная матрица А-1 не существует. Значит, она существует во всех остальных случаях, когда l ¹ 1; 2; 3.

Ответ: Обратная матрица А-1 существует при l ¹ 1; 2; 3.

6) Найти ранг r(А) матрицы А, если А= .

Решение. Элементарными преобразованиями приведем матрицу А к ступенчатому виду.

А= ~ ~ ~

~ = В Þ r(A) = r(B) = 3. Ответ: r(A) = 3

7(а) Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса.

Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.

 
 


~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Þ Число неизвестных n = 4 = r(A) = =r(A|B), то есть ранги матрицы коэффициентов и расширенной матриц равны числу неизвестных. Тогда по теореме Кронекера-Капелли данная СЛАУ совместная и определенная. Полученная ступенчатая расширенная матрица СЛАУ соответствует ступенчатой СЛАУ

Проверка:

2×(-2)-2×1+3+3=0 Û 0º0

2×(-2)+3×1+4-3×3+6=0 Û 0º0

3×(-2)+4×1-4+2×3=0 Û 0º0

-2+3×1+4-3-2=0 Û 0º0

Ответ: х1 = -2, х2 = 1, х3 = 4, х4 = 3.

7(б) Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса.

Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.

-2 ~ ~ ~ ~ Þ Число неизвестных n = 4 > 2 = r(A) = r(A|B). По теореме Кронекера-Капелли данная система совместная и неопределенная. Полученная ступенчатая расширенная матрица СЛАУ соответствует ступенчатой СЛАУ

Поскольку число уравнений больше числа неизвестных, то нужно выбрать базисные неизвестные. В качестве базисных можно взять неизвестные х1, х2, так как коэффициенты при них образуют один из базисных миноров М2 = = 11 ¹ 0.

Следовательно, остальные неизвестные х3, х4 – свободные. Зафиксируем их и, чтобы отличить от базисных неизвестных, переобозначим: пусть х3 = с3, х4 = с4. Перенесем их в правую часть соответствующих уравнений и выразим через них базисные неизвестные х1 и х2:

Ответ: х1 = 1/11(1-14с3+2с4); х2 = 1/11(2-6с3-7с4); х3 = с3; х4 = с4

8) Найти ненулевые решения однородной СЛАУ.

Решение. Запишем расширенную матрицу системы и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.

-3 ~ ~ = B

Число неизвестных n = 4 > 2 = r(A) = r(A|B), тогда, по теореме 1 (п.4.6), однородная СЛАУ помимо нулевого решения имеет и ненулевые решения. Найдем их. Полученной ступенчатой матрице В соответствует ступенчатая СЛАУ

Чтобы решить ее, в качестве базисных неизвестных можно взять неизвестные х1 и х2, так как коэффициенты при них образуют один из базисных миноров М2 = =1¹0. Следовательно, остальные неизвестные – свободные. Переобозначим их: х3 = с3, х4 = с4, и перенесем в правую часть соответствующих уравнений.

 

Ответ: х1 = 2с34; х2 = 3с3+2с4; х3 = с3; х4 = с4, где с3, с4 - const.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.)