|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Образец выполнения индивидуальной домашней работы (ИДР)
1) Пользуясь свойствами определителей, доказать тождество = 0 Решение. Пользуясь свойствами определителей 7), 4) и 6), получим
= + = x× +2x× = 0 + 0 = 0.
2) Дано: А = . Найти АТ; А×АТ и ½А½. Решение. 1) АТ = ; 2) А×АТ = × = = ; 3) ½А½= = = =2× = 2× = 2× = 2×(-12) = -24. 3) Решить квадратную СЛАУ . а) матричным способом; б) по формулам Крамера. 3а) Решение квадратной СЛАУ матричным способом В этой СЛАУ А= . α) Методом элементарных преобразований найдем обратную матрицу А-1: (A|E) = ~ ~ ~ ~ -3 ~ ~ Þ А-1= β) Проверка: А-1×А = × = = Е γ) По формуле (4.3) находим решение СЛАУ: Х=А-1×В Þ = × Þ х1 = 1; х2 = 2; х3 = -1 δ) Проверка. Подставляя значения х1 = 1, х2 = 2, х3 = -1 в исходную систему уравнений, получим 2×1+3×2+5×(-1)=3 Û 3º3 1+2+(-1)=2 Û 2º2 1+3×2-2×(-1)=9 Þ 9º9 Ответ: х1 = 1, х2 = 2, х3 = -1. 3б) Решение квадратной СЛАУ по формулам Крамера: Главный определитель системы равен D= = = = = 9 ¹ 0 Þ данная СЛАУ имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера. D1 = = - = - = - = = 9 Þ Þ х1 = = 1. D2 = = = = - = 18 Þ х2 = = 2.
D3 = = = = - = -9 Þ х3 = = -1.
Ответ: х1 = 1, х2 = 2, х3 = -1. 4) Выполнить действия над матрицами: (А-1)2 + В×А, если А= , В= . а) Методом элементарных преобразований над строками найдем обратную матрицу А-1. Решение: а) АЕ=(A|E)= -1 ~ ~ ~ ~ -1 ~ ~ ~ Þ ÞА-1= . Проверка: А-1×А = × = = Е; б) (А-1)2 = × = ; в) В×А = × = ; г) (А-1)2 + В×А = + = = . 5) Найти значения l, для которых существует обратная матрица А-1, если А= . Решение. Обратная матрица А-1 существует, когда исходная матрица А является невырожденной, то есть ее определитель |А| ¹ 0. Найдем значения l, при которых определитель |А| = 0 и, исключив их, определим те значения l, при которых обратная матрица А-1 существует. Для этого разложим определитель данной матрицы по 3–му столбцу, так как он содержит только один ненулевой элемент (λ–2): = (-1)6×(l-2) = (l-2)×((l-2)2 -1) = 0 а) l = 2; б) (l-2)2 - –1 = 0 Þ l2 - 4l + 3 = 0 Þ = 1; 3. Таким образом, при l = 1; 2; 3 обратная матрица А-1 не существует. Значит, она существует во всех остальных случаях, когда l ¹ 1; 2; 3. Ответ: Обратная матрица А-1 существует при l ¹ 1; 2; 3. 6) Найти ранг r(А) матрицы А, если А= . Решение. Элементарными преобразованиями приведем матрицу А к ступенчатому виду. А= ~ ~ ~ ~ = В Þ r(A) = r(B) = 3. Ответ: r(A) = 3 7(а) Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса. Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Þ Число неизвестных n = 4 = r(A) = =r(A|B), то есть ранги матрицы коэффициентов и расширенной матриц равны числу неизвестных. Тогда по теореме Кронекера-Капелли данная СЛАУ совместная и определенная. Полученная ступенчатая расширенная матрица СЛАУ соответствует ступенчатой СЛАУ Проверка: 2×(-2)-2×1+3+3=0 Û 0º0 2×(-2)+3×1+4-3×3+6=0 Û 0º0 3×(-2)+4×1-4+2×3=0 Û 0º0 -2+3×1+4-3-2=0 Û 0º0 Ответ: х1 = -2, х2 = 1, х3 = 4, х4 = 3. 7(б) Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса. Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду. -2 ~ ~ ~ ~ Þ Число неизвестных n = 4 > 2 = r(A) = r(A|B). По теореме Кронекера-Капелли данная система совместная и неопределенная. Полученная ступенчатая расширенная матрица СЛАУ соответствует ступенчатой СЛАУ Поскольку число уравнений больше числа неизвестных, то нужно выбрать базисные неизвестные. В качестве базисных можно взять неизвестные х1, х2, так как коэффициенты при них образуют один из базисных миноров М2 = = 11 ¹ 0. Следовательно, остальные неизвестные х3, х4 – свободные. Зафиксируем их и, чтобы отличить от базисных неизвестных, переобозначим: пусть х3 = с3, х4 = с4. Перенесем их в правую часть соответствующих уравнений и выразим через них базисные неизвестные х1 и х2: Ответ: х1 = 1/11(1-14с3+2с4); х2 = 1/11(2-6с3-7с4); х3 = с3; х4 = с4 8) Найти ненулевые решения однородной СЛАУ. Решение. Запишем расширенную матрицу системы и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду. -3 ~ ~ = B Число неизвестных n = 4 > 2 = r(A) = r(A|B), тогда, по теореме 1 (п.4.6), однородная СЛАУ помимо нулевого решения имеет и ненулевые решения. Найдем их. Полученной ступенчатой матрице В соответствует ступенчатая СЛАУ Чтобы решить ее, в качестве базисных неизвестных можно взять неизвестные х1 и х2, так как коэффициенты при них образуют один из базисных миноров М2 = =1¹0. Следовательно, остальные неизвестные – свободные. Переобозначим их: х3 = с3, х4 = с4, и перенесем в правую часть соответствующих уравнений.
Ответ: х1 = 2с3-с4; х2 = 3с3+2с4; х3 = с3; х4 = с4, где с3, с4 - const.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.) |