АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Линейные операции над матрицами

Читайте также:
  1. A) линейные
  2. I. Психологические операции в современной войне.
  3. Абстрактные линейные системы
  4. Активные операции коммерческих банков: понятие, значение, характеристика видов
  5. Арифметические выражения и операции
  6. Арифметические операции
  7. Арифметические операции и выражения
  8. Арифметические операции над двоично-десятичными числами
  9. Арифметические операции языка С
  10. Б) линейные.
  11. Б. Операции на рынке иностранной валюты
  12. Банковская система. Банки и их операции.

 

Линейными операциями над матрицами называются:

1) сложение и вычитание матриц;

2) умножение матрицы на действительное число.

Матрицы А и В равны (А = В), если они одинаковой размерности и их соответствующие элементы совпадают, то есть aij = bij ("i, j).

Опр. 1. Суммой (разностью) матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих (т.е. с одинаковыми индексами) элементов матриц А и В. Тогда для суммы имеем: cij=aij+bij (для разности: cij = aij – bij). Обозначение С = А + В (С = А – В)

Пример. Дано: А = , В = . Найти А+В и А-В.

Решение: а) А + В = + = ;

б) А – В = - =

NB. Сложение и вычитание матриц возможно только для матриц одинаковой размерности.

Опр. 2. Произведением матрицы А на действительное число l называется матрица В, получаемая из матрицы А умножением всех ее элементов на числоl: bij = l×aij . Обозначение В = l×А или В = А×l.

Пример. Дано: А = , l = -2. Найти l×А.

Решение: l×А = (-2)× =

Следствие.

Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Пример. А = = 2

Матрица (-А) = (-1)×А называется противоположной матрице А.

 

Свойства сложения матриц:

 

1) коммутативность (переместительное свойство): А + В = В + А;

2) ассоциативность (сочетательное свойство): А + В + С = (А + В) + С = А + (В + С);

3) свойство противоположной матрицы: А + (-А) = О;

4) свойство нулевой матрицы: О + А = А.

 

Свойства умножения матрицы на число:

5) дистрибутивность (распределительное свойство) относительно суммы матриц:

l×(А+В) = l×А+l×В;

6) дистрибутивность относительно суммы чисел: (l +m)×А = l×А + m×А;

7) ассоциативность (сочетательное свойство) относительно произведения:

l×m×А = (l×m)×А = l×(m×А) = m×(l×А);

8) l×А =

NB 1. Элементы произвольной природы А, В, С …, для которых выполняются линейные операции сложения (Опр. 1) и умножения на число (Опр. 2), и которые удовлетворяют свойствам 1-8, образуют, так называемое, линейное пространство. Примеры линейных пространств: матрицы, векторы, множество действительных чисел R.



NB 2. Для матриц кроме линейных операций имеют место и нелинейные операции - это умножение матрицы на матрицу и операция транспонирования матрицы.

 

1.4.2. Умножение матрицы на матрицу.

 

Перемножать можно только согласованные матрицы.

Опр. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Например, матрица Аm´n является согласованной с матрицей Bn´k, так как в записи их произведении Am´n× Bn´k внутренние индексы совпадают (n = n). Тогда результирующая матрица С будет иметь размерность внешних индексов: Сm´k. Однако матрица Bn´k не является согласованной с матрицей Am´n, поскольку в произведении Bn´k× Am´n внутренние индексы не совпадают (k m). Следовательно, можно умножить матрицу Am´n на матрицу Bn´k, но нельзя умножить Bn´k на Am´n.

Матрицы А и В называются взаимно согласованными, если А согласована с В, а В согласована с А. Это бывает, если А и В – квадратные матрицы одного порядка или если Am´n, а Bn´m.

NB. Умножение матрицы А на матрицу В обозначается символом А×В. Произведение матриц А×В еще называют умножением слева матрицы А на матрицу В либо умножением справа матрицы В на матрицу А.

Опр. Произведением матрицы Am´n на матрицу Bn´k называется матрица Cm´k, каждый элемент которой cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj = (i = ; j = ), то есть элемент cij равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. Или кратко: элемент cij равен произведению i-ой строки матрицы А на j-тый столбец матрицы В.

На рисунке 1.4 схематично показан пример получения элемента с21 матрицы С.

 

A4x3 B3x5 C4x5

. =

 

с21 = а21×b11 + а22×b21 + а23×b31

‡агрузка...

 

Рисунок 1.4

 

Пример. Дано: А= ; В= . Найти А×В и В×А.

Решение. Так как матрицы А и В взаимно согласованы, то получим

1) А2×3 ×В3×2 = С2×2;

 

А2х3×В3х2= . = = = ;

2) В3×2 ×А2×3 = D3×3;

2) В3х2×А2х3= . = = =

NB. Очевидно, что в общем случае, произведение двух матриц не обладает переместительным свойством, то есть А×В В×А.

Матрицы А и В называются коммутативными (перестановочными), если А×В = В×А.

NB. Матрицы Е и О всегда являются перестановочными по отношению к другим матрицам, так как

1) А×Е = Е×А = А

2) А×О = О×А = О

 

Свойства умножения матриц:

 

1) А×В В×А;

2) (А×В)×С=А×(В×С) – ассоциативность (сочетательное свойство);

3) А×(В+С)=А×В+А×С или (А+В)×С=А×С+В×С – дистрибутивность (распределительное свойство);

4) l×(А×В)=(l×А)×В=А×(l×В), где l - заданное число.

NB. Формально в линейной алгебре не определяется операция деления матрицы А на матрицу В, однако фактически она реализуется умножением матрицы А на, так называемую, обратную матрицу В-1, нахождение которой будет рассмотрено ниже.

1.4.3. Многочлены от квадратных матриц.

 

Опр. Квадратная матрица А в n–ой степени есть произведение матрицы А на себя n раз: Аn = (nÎN). Квадратная матрица А (А¹О) в нулевой степени есть единичная матрица Е того же порядка, что и матрица А, то есть А0 = Е.

NB. Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

 

Свойства степени квадратной матрицы:

1) Аm×An = Am+n

2) (Am)n = Am×n

 

Из обычного многочлена (полинома) степени n (nÎZ+)

Pn(x)=an×xn + an-1×xn-1 + …+ a1×x1 + a0×x0

заменой переменной х на квадратную матрицу А получают матричный многочлен Рn(А) от квадратной матрицы А: Pn(A) = an×An + an-1×An-1 + …+ a1×A + a0×Е, который также является матрицей.

NB. В матричных многочленах от квадратной матрицы А порядок единичной матрицы Е равен порядку матрицы А.

Пример. Найти значение функции f(x) при х=А, если f(x)=x2-2x+2, A= .

Решение: так как единичная матрица Е в матричном исчислении играет роль единицы, то искомое значение функции следует искать в виде

f(A) = A2-2A+2E = =

 

= = Е

 

Опр. Матрица А называется корнем многочлена Рn(х), если Рn(А)=0. В этом случае многочлен Рn(х) называется аннулирующим многочленом для матрицы А.

Пример. Показать, что матрица А= является корнем многочлена Р2(х) = х2 + 2х -1.

Решение: Р2(А) = А2 + 2А - Е =

= = О

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.011 сек.)