Метод Гаусса исключения неизвестных

В отличие от матричного метода и формул Крамера метод Гаусса является универсальным, так как применим для решения и исследования на совместность не только квадратных, но любых СЛАУ. Суть метода: СЛАУ кратко записывается в виде расширенной матрицы, которая с помощью элементарных преобразований над строками приводится к ступенчатому виду. Этот процесс называется прямым ходом метода Гаусса. Тогда каждой строке ступенчатой расширенной матрицы соответствует уравнение ступенчатой СЛАУ. Ступенчатая СЛАУ несовместна, если она содержит уравнение вида 0×х₁ + 0×х₂ +…+0×х_n = С, (где С ¹ 0), соответствующее строке расширенной матрицы, так как такому уравнению соответствует невыполнимое равенство 0 = С. Полностью нулевые строки расширенной матрицы вычеркиваются, так как они соответствуют тождеству 0×х₁ + 0×х₂ +…+0×х_n º 0, которое выполняется при любых значениях неизвестных х₁, х₂, …, х_n.

Решение совместной СЛАУ ступенчатого вида находят так: из последнего уравнения СЛАУ находят значение неизвестной x_n и подставляют в вышестоящее уравнение, чтобы найти значение неизвестной x_n-1. Далее, используя значения этих двух неизвестных, поднимаются на ступеньку выше и находят значение неизвестной x_n-2 и так далее. Последним находят значение неизвестной x₁ из 1-го уравнения ступенчатой СЛАУ. Описанный процесс называется обратным ходом метода Гаусса.

Пример 1. Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса.

Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.

~ ~ ~ ~ Þ Число неизвестных n = 3 = r(A) = r(A|B), то есть ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы СЛАУ равны числу неизвестных. Тогда по теореме Кронекера-Капелли данная СЛАУ совместная и определенная. Полученная ступенчатая расширенная матрица СЛАУ соответствует ступенчатой СЛАУ

Проверка: 1+1+1=3 Û 3º3

2×1+3×1+2×1=7 Û 7º7

5×1-1-1=3 Û 3º3

Ответ: х₁ = х₂ = х₃ = 1.

Пример 2. Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса.

Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.

~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ Þ Число неизвестных n=4=r(A)=r(A|B), то есть ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы СЛАУ равны числу неизвестных. Тогда по теореме Кронекера-Капелли данная СЛАУ совместная и определенная. Полученная ступенчатая расширенная матрица СЛАУ соответствует ступенчатой СЛАУ

Проверка:

2×(-2)-2×1+3+3=0 Û 0º0

2×(-2)+3×1+4-3×3+6=0 Û 0º0

3×(-2)+4×1-4+2×3=0 Û 0º0

-2+3×1+4-3-2=0 Û 0º0

Ответ: х₁ = -2; х₂ = 1; х₃ = 4; х₄ = 3.

Пример 3. Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса.

Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.

_-2 ~ ~ ~ ~ Þ Число неизвестных n=4>2=r(A)=r(A|B). По теореме Кронекера-Капелли данная СЛАУ совместная и неопределенная. Полученная ступенчатая расширенная матрица СЛАУ соответствует ступенчатой СЛАУ

В данной ступенчатой СЛАУ число неизвестных больше числа уравнений. Поэтому она является неопределенной. Для любой неопределенной СЛАУ, когда число неизвестных превышает ранг матрицы коэффициентов (n > r(A)), часть неизвестных называют базисными (главными), а остальные – свободными неизвестными. Число базисных неизвестных равно рангу матрицы коэффициентов. В качестве базисных неизвестных берут те, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Поскольку базисных миноров может быть несколько, то и вариантов выбора базисных неизвестных может быть несколько.

В данном примере за базисные неизвестные можно взять любую пару из неизвестных х₁, х₂, х₃, х₄, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Пусть, например, это будет пара х₁, х₂, так как коэффициенты при этих неизвестных образуют базисный минор М₂ = = 11 ¹ 0, который берется из ступенчатой СЛАУ. Следовательно, остальные неизвестные х₃, х₄ являются свободными. Зафиксируем их и, чтобы отличить от базисных неизвестных, переобозначим: х₃ = с₃, х₄ = с₄. Затем перенесем их в правую часть соответствующих уравнений и выразим через них базисные неизвестные х₁ и х₂:

Ответ: х₁ = 1/11×(1-14с₃+2с₄); х₂ = 1/11×(2-6с₃-7с₄); х₃ = с₃; х₄ = с₄, где с₃, с₄ - const.

Поиск по сайту: