|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Обратная матрица. Опр. Матрица называется присоединенной (союзной) к квадратной матрице А, если она состоит из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицыОпр. Матрица называется присоединенной (союзной) к квадратной матрице А, если она состоит из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы Ат. Чтобы получить присоединенную матрицу , следует транспонировать матрицу А, а затем все ее элементы заменить их алгебраическими дополнениями, то есть = (3.1) Опр. Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если ее определитель |A|=0, и невырожденной, если ее определитель |A|¹0. Опр. Квадратная матрица А-1 называется обратной (инверсной) к квадратной матрице А, если выполняется условие А-1×А = А×А-1= Е (3.2) NB. Обратная матрица А-1 возможна только для невырожденной матрицы А. Теорема. Для любой невырожденной квадратной матрицы А существует единственная обратная матрица А-1, которая находится по формуле А-1 = (3.3) Доказательство. 1) Из определения А-1×А = А×А-1 следует, что А и А-1- это квадратные матрицы одного порядка. Пусть матрица А – невырожденная, то есть |A|¹0. Тогда, по правилу умножения матриц, по теореме Лапласа и по свойству 9 определителей, получим А× = × = = = |A|× = |A|×E Следовательно, А× = |A|×E. Аналогично доказывается, что ×А = |A|×E. Из А× = |A|×E Þ А-1×А× = А-1×|A|×E Þ Е× =А-1×|A| Þ =А-1×|A| Þ А-1 = . 2) Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что для матрицы А существует еще одна обратная матрица В. Тогда, согласно определению произведение А×В=Е. Обе части последнего равенства умножим слева на обратную матрицу А-1 и получим: А-1×А×В = А-1×Е Þ Е×В = А-1×Е Þ В = А-1. Fin.
Свойства обратной матрицы: 1) |A-1| = ; 2) (A×B)-1 = B-1×A-1; 3) (A-1)т = (Ат)-1.
3.1.1. Вычисление обратной матрицы А-1 с помощью присоединенной матрицы .
Для этого необходимо: 1) Вычислить определитель |A|. Если |A|=0, следовательно матрица А – вырожденная и для нее нет обратной матрицы А-1. Если же |A|¹0, то следует выполнить следующие действия. 2) Вычислить алгебраические дополнения Aij всех элементов aij матрицы А и построить матрицу АА, в которой на местах элементов aij будут стоять их алгебраические дополнения Aij: АА = 3) Транспонировать матрицу АА, чтобы получить присоединенную матрицу : = = . 4) Вычислить обратную матрицу А-1 по формуле: А-1 = 5) Выполнить проверку: А-1×А = Е.
Пример. Дано: А= , А-1=? Решение: 1) Вычислим определитель |A|. Для этого сначала «обнулим» первый столбец, а затем приведем определитель к треугольному виду.
|A| = = = – = -(–7) = 7 ¹ 0 Þ $ А-1. 2) Найдем алгебраические дополнения Aij всех элементов aij матрицы А: А11=(-1)2 = -2; А12=(-1)3 = 1; А13=(-1)4 = 0; А21=(-1)3 = -3; А22=(-1)4 = –16; А23=(-1)5 = 14; А31=(-1)4 = 3; А32=(-1)5 = 9; А33=(-1)6 = –7. 3) Составим матрицу АА из алгебраических дополнений Aij и транспонируем ее, чтобы получить присоединенную матрицу : АА= Þ = = . 4) Найдем обратную матрицу по формуле: А-1 = = ∙ NB. В случае, когда |A| ¹ ±1, множитель лучше оставлять вне обратной матрицы А-1 для удобства проверки. 5) Проверка: А-1×А = ∙ ∙ = ∙ = = Е. Ответ: А-1 = ∙ . 3.1.2. Вычисление обратной матрицы А-1 Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |