|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Правила вычисления определителей
Опр. Определитель 1-го порядка – это определитель квадратной матрицы 1-го порядка А1, который равен значению элемента а11, так как матрица А1 состоит из одного этого элемента, который одновременно является ее числовой характеристикой: D=|A1|= a11.
Опр. Определитель 2-го порядка – это определитель квадратной матрицы 2-го порядка А2, который вычисляется по формуле D = |A2| = = a11×a22 - а12×а21, (2.1) то есть он равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей (рис.2.1).
Рисунок 2.1 Пример. =1×4 - (-2)×3 = 10 Опр. Определитель 3-го порядка – это определитель квадратной матрицы 3-го порядка А3, который вычисляется по формуле D = |A3| = = = а11×а22×а33 + а12×а23×а31 + а13×а21×а32 - а13×а22×а31 - а12×а21×а33 - а11×а23×а32 (2.2)
Для запоминания формулы (2.2) используют правило треугольников, которое символически изображено на рисунке 2.2.
Рисунок 2.2
Со знаком (+) берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих в вершинах треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Со знаком (-) берутся произведения элементов, стоящих на побочной диагонали, и произведения элементов, стоящих в вершинах треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали.
Пример. D= = 5×1×(-3) + (-2)×(-4)×6 + 3×0×1 - 1×1×6 - (-2)×3×(-3) - (-4)×0×5 = 9 Опр. Минор Mij элемента aij - это определитель, который получается из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится элемент aij. Например, if D= Þ M11 = , то есть М11 = ; М12 = ,…, М33 = Опр. Алгебраическое дополнение Aij элемента aij - это минор Mij, взятый со знаком (-1)i+j, то есть Aij = (-1)i+j×Mij. Например, if D= Þ А11=(-1)2× М11 = ; А12=(-1)3× М12 = - ,…, А33=(-1)6× М33 = . Теорема Лапласа (точнее, частный случай теоремы Лапласа). Всякий определитель равен сумме попарных произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения, то есть D = |An| = = , (2.3) где есть разложение определителя по i-ой строке, а есть разложение определителя по j-му столбцу. Доказательство. Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере разложения определителя 3-го порядка, например, по 1-й строке. По теореме это разложение будет иметь вид: D= = а11А11 + а12А12 + а13А13 = {с учетом определения Aij получим}= =а11(-1)2М11 + а12(-1)3М12 + а13(-1)4М13 = а11 - а12 + а13 = а11(а22×а33 - а23×а32) - а12(а21×а33 - а23×а31) + а13(а21×а32 - а22×а31) = =а11×а22×а33 + а12×а23×а31 + а13×а21×а32 - а13×а22×а31 - а12×а21×а33 - а11×а23×а32 = {по правилу треугольников} = = D. Аналогичный результат получается при разложении определителя по любой строке (столбцу). Fin. Следствие. Если в i–й строке (j-м столбце) определителя D есть только один ненулевой элемент аij ¹ 0, то результатом разложения определителя по этой строке (столбцу) будет выражение D = аij×Аij.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.) |