АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Исследование СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли

Читайте также:
  1. S-M-N-теорема, приклади її використання
  2. Аналитическое исследование системы
  3. Архивное исследование
  4. Б. Качественное исследование
  5. Бактериологическое исследование трупа
  6. Взятие крови из вены на биохимическое исследование Вакутайнером
  7. Взятие крови из вены на биохимическое исследование шприцем
  8. Внешние эффекты (экстерналии). Теорема Коуза.
  9. Внешние эффекты трансакционные издержки. Теорема Коуза
  10. Внешние эффекты, их виды и последствия. Теорема Коуза
  11. Внешние эффекты. Теорема Коуза.
  12. Вопрос 1 теорема сложения вероятностей

 

Пусть дана прямоугольная СЛАУ (4.1) из m уравнений с n неизвестными. Этой СЛАУ соответствует краткая запись в виде расширенной матрицы, которая состоит из матрицы коэффициентов А и матрицы–столбца свободных членов В, разделенных вертикальной разделительной чертой, то есть в виде (A|B). В ней каждая строка соответствует алгебраическому уравнению исходной СЛАУ.

(A|B)= (4.7)

 

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛАУ).

СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы r(A) = r(A|B).

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть СЛАУ (4.1) совместна. Запишем ее в виде суммы матриц-столбцов (4.3):

+ +…+ =

Это означает, что если существует решение x1= C1, …, xn = Cn, то столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы коэффициентов СЛАУ. Следовательно, ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы: r(A) = r(A|B).

2) Достаточность. Пусть r(A) = r(A|B). Это означает, что для данной СЛАУ любой базисный минор матрицы коэффициентов А остается базисным и для расширенной матрицы A|B. Тогда по теореме о базисном миноре, столбец свободных членов расширенной матрицы A|B можно представить в виде линейной комбинации базисных столбцов матрицы А, то есть существуют числа li (i= ), не все равные нулю, при которых выполняется равенство

+ +…+ = Þ λ1 = x1; …; λn = xn

Следовательно, значения коэффициентов li этой линейной комбинации и есть решение СЛАУ (4.1), то есть СЛАУ (4.1) является совместной при r(A) = r(A|B). Fin.

Следствие 1. Если ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы СЛАУ равны числу неизвестных (r(A) = r(A|B) = n), то такая СЛАУ имеет единственное решение (то есть СЛАУ является совместной и определенной).

Следствие 2. Если ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы СЛАУ равны друг другу и меньше числа неизвестных (r(A) = r(A|B) < n), то такая СЛАУ имеет бесконечное множество решений (то есть СЛАУ является совместной и неопределенной).

Следствие 3. Если ранг матрицы коэффициентов меньше ранга расширенной матрицы r(A)< r(A|B), то такая СЛАУ решений не имеет (то есть СЛАУ является несовместной).

Пример. Исследовать СЛАУ на совместность

Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду

~ ~ ~ ~

Þ r(A) = 3; r(A|B) = 4 Þ r(A) < r(A|B) Þ СЛАУ не совместна.

Действительно, последней строке ступенчатой расширенной матрицы СЛАУ соответствует уравнение, которое не имеет решений ни при каких значениях неизвестных х1, х2, х3: 0×х1 + 0×х2 + 0×х3 = -1.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)