Преобразование координат

, – декартовы прямоугольные координаты произвольной точки М.

, - формулы перехода от полярных координат произвольной точки к декартовым координатам той же точки.[*]

, - формулы перехода от декартовых координат произвольной точки к полярным координатам той же точки.*

- формула нахождения расстояния между двумя точками в прямоугольной декартовой системе координат.

- формула нахождения расстояния между двумя точками в полярной системе координат.

, - формулы проекции на оси координат направленного отрезка М₁М₂, где М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂; у₂).

, - формулы проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол.

, - формулы координат точки М, проходящей через данные точки М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂), которые расположены в отношении

, - формулы координат середины отрезка М₁М₂, где М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂).

_и - формулы для вычисления площади треугольника по трем точкам.

Задача 1. Дана точка М(3;2). Построить точки, симметричные с ней относительно оси абсцисс, оси ординат, начала координат. Определить координаты этих точек.

Анализ:

Чтобы найти симметричные точки, необходимо построить следующие графики функций: х=3, х=-3, у=2, у=-2.

Точка, симметричная т.М относительно оси абсцисс – это точка пересечения графиков х=3 и у=-2.

Точка, симметричная т.М относительно оси ординат – это точка пересечения графиков х=-3 и у=2.

Точка, симметричная т.М относительно начала координат – это точка пересечения графиков х=-3 и у=-2.

1. Используем пакет plots.

2. Зададим два списка, соответственно содержащих возможные координаты абсцисс и ординат точек.

3. Присваиваем индексные величины.

>	pare:=(x,y)->[x,y];

4. Образуем пары из элементов двух списков.

> coordxy:=zip(pare,x,y,2);

5. Построим полученные точки.

> pointplot(coordxy);

Задача 2. Зная прямоугольные координаты точки А(3;4), найти ее полярные координаты.

1. Зададим декартовы координаты точки.

>	x:=3; y:=4;

2. Полярные координаты связаны с декартовыми в нашем случае по формулам , . Решим уравнения относительно r и θ при условии положительности r.

3. Значит, полярные координаты точки .

Задача 3. Найти прямоугольные координаты точки, если известны ее полярные координаты В(3; ), причем ось абсцисс совпадает с полярной осью, а начало координат с полюсом.

1. Зададим полярные координаты точки.

>	r:=3; phi:=-Pi/6;

2. Полярные координаты связаны с декартовыми в нашем случае по формулам , . Решим уравнения относительно r и θ при условии положительности r.

>	solve({x=r*cos(phi), y=r*sin(phi)}, {x,y});

3. Значит, декартовы координаты точки .

Задача 4. В полярной системе координат даны точки А(3; ) и В(2; ). Вычислить расстояние между ними.

1. Зададим полярные координаты точек.

>r:=3; l:=2; phi:=Pi/2; psi:=Pi;

2. Расстояние между двумя точками в полярной системе координат находится по формуле . Решим уравнение относительно d.

>	solve({d=sqrt(r^2+l^2-2*r*l*cos(psi-phi))},d);

3. Значит, расстояние между точками А и В равно .

Задача 5. Найдите расстояние между точками А (4; -2) и В (1; 2).

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим координаты точек.

>point(A,4,-2): point(B,1,2):

3. Вычислим расстояние между данными точками.

> distance(A,B); > evalf(%);

Задача 6. Найдите середину С отрезка АВ, если А (1; 3) и В (-3; 1).

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим координаты точек.

>point(A,1,3): point(B,-3,1):     Зададим середину отрезка АВ, и найдем ее координаты.
	> midpoint(C,A,B); > coordinates(C);

Задача 7. Найдите периметр и площадь треугольника, если известны координаты его вершины А (1; 3), В (-2; 2) и С (-2; 0).

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим треугольник АВС по трем точкам.

3. Найдем площадь треугольника.

> area(ABC);

4. Найдем длины сторон треугольника.

>	sides(ABC);

5. Найдем периметр треугольника.

>	sqrt(10)+sqrt(4)+sqrt(18); > evalf(%);

Задача 8. Через точку (4,-3) провести прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3. Система координат прямоугольная. [Смирнова Ю.М. «Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре», №266]

Анализ:

В задаче требуется написать уравнение прямой l, если известны координаты точки С(4,-3) лежащей на прямой, и площадь треугольника АОВ, где и О(0,0).

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим координаты известной точки С(4,3) и неизвестной точки А, лежащей на оси Оу.

3. Зададим прямую, проходящую через точки А и С, и выведем уравнение прямой с неизвестным параметром а.

> >	line(l,[A,C]): Equation(l,[x,y]); Анализ: Координаты точки В(0,у), т.к. . Площадь треугольника , т.к. , то . Подставив координаты точки В в уравнение l, можно найти значение параметра а.

4. Находим значение параметра а подставив координаты точки В в уравнение l, можно найти

> r:=subs({x=0,y=6/a}, Equation(l,[x,y])):

> solve(lhs(r),a);

5. Найдем уравнение l и координаты точки В при параметре а = -4.

> a:=-4: Equation(l,[x,y]); point(B,[0,6/a]):

6. Построим график прямой с точками А, В, С.

> draw([l,A(color=blue),B(color=blue),C(color=blue)]);

1. аналогично при параметре а = 2.

> a:=2: Equation(l,[x,y]); point(B,[0,6/a]):

> draw([l,A(color=blue),B(color=blue),C(color=blue)]);

Задачи для самостоятельного решения:

1. Дана точка М(-2;4). Построить точки, симметричные с ней относительно оси абсцисс, оси ординат, начала координат. Определить координаты этих точек.

[(-2,-4), (2,4), (2,-4)]

2. Построить точки, абсциссы которых равны –4, -2, -1, 0, 1, 2, 3 и 4, а ординаты определяются из уравнения у=3х-5 [О.Н. Цубербиллер, Гл.II, п.1, №28].

3. Найти координаты точек симметричных относительно биссектрисы второго координатного угла точкам 1) А(3; 5), 2) В(-4; 3), 3) С(7; -2).

[1) (-5.-3), 2) (-3,4), 3) (2,-7)]

4. Построить точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям:

1) 2) [О.Н. Цубербиллер, Гл.II, п.1, №27, зад.1,2]

1. Зная прямоугольные координаты точек (-1;1), (0;2), (5;0), найти их полярные координаты.
2. Вычислить расстояние между двумя данными точками А(2; ) и В(1; ).

[ ]

1. На оси Х построить точку, равноудаленную от начала координат и от точки А(9;-3).
2. Найти расстояние от точки (-3;4) до

1) оси х; 2) оси у; 3) начала координат.

[1) 4; 2) 3; 3) 5]

1. Найти расстояние между точками:

1) (-6;3) и (0;-5) 2) (2;11) и (7;-1) [Судибор §2.2 №2.1]

[1) 10; 2) 13]

1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин: (1;4), (-5;0), (-2;-1). [О.Н. Цубербиллер, Гл.II, п.3 №70]

[(-2.1)]

1. Дан треугольник А(4;1), В(7;5), С(-4;7). Найти точку пересечения биссектрисы угла А с противолежащей стороной ВС. [О.Н. Цубербиллер, Гл.II, п.3 №73]

[M(10/3;17/3)]

1. Найти центр тяжести четырехугольной однородной доски, зная, что углы доски помещаются в точках А(4;4), В(5;7), С(10;10), D(12;4). [О.Н. Цубербиллер, Гл.II, п.3 №84]

[x=8.2; y=6.2]

1. Зная две противоположные вершины ромба А(8;-3), С(10;11) и длину его стороны АВ=10, определить координаты остальных вершин ромба. [О.Н. Цубербиллер, Гл.II, п.3 №53]

[(-5,4)]

1. Доказать, что четырехугольник ABCD c вершинами в точках А(-1;-2), В(2;-5), С(1;-2), D(-2;1) является параллелограммом.
2. Доказать, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А(4;1), В(0,4), C(-3;0), D(1;-3) является квадратом.
3. Длина d отрезка MN равна 5; его проекция на ось абсцисс равна 4. Найти проекцию этого отрезка на ось ординат при условии, что он образует с осью ординат:

1) острый угол; 2) тупой угол. [Клетеник §4 №56]

[1) 3; 2) -3]

Поиск по сайту: