Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и ее приложениях

- уравнение диаметра эллипса .

- уравнение диаметра гипербол .

- уравнение диаметра параболы .

Точка является центром линии, определяемой уравнением в том и только в том случае, когда её координаты удовлетворяют уравне­ниям:

Задача 1. Установить, что следующие линии являются центральными, и для каждой из них найти координаты центра:

1) 3х² + 5ху +y² — 8х — 11у — 7 = 0;

2) 5х² + 4ху + 2y² + 20х+ 20у — 18 = 0. (Клетеник, §23, №666 (п.1,2)).

1. Используем пакет linalg.

2. Зададим коэффициенты линии второго порядка.

> a:=3: b:=5/2: c:=1: d:=-8/2: e:=-11/2:

1. Найдем центр линии, решив систему уравнений с двумя неизвестными, составленную из коэффициентов уравнения линии.

> solve({a*x+b*y+d=0, b*x+c*y+e=0}, {x,y});

1. Аналогично находим центр для второй линии, предварительно очистив значения коэффициентов.

> a:='a': b:='b': c:='c': d:='d': e:='e':

> a:=5: b:=2: c:=2: d:=10: e:=10:

> solve({a*x+b*y+d=0, b*x+c*y+e=0}, {x,y});

1. Получим, обе линии являются центральными, центр первой линии (3,-2), центр второй – (0,-5).

Задача 2. Определить тип каждого из следующих уравнений при по­мощи вычисления дискриминанта старших членов:

1) 2х²+10ху+12у² —7х + 18у —15 = 0;

2) 3х² — 8ху + 7у² + 8х — 15у + 20 = 0;

3) 25х² — 20ху + 4у² — 12х + 20у —17 = 0. (Клетеник, §24, №675 (п.1,2,3)).

Анализ: Из теории известно, что тип уравнения можно узнать, вычислив дискриминант, который составляется из коэффициентов при старших членах уравнения Ах² + 2 Вху + Су² + 2 Dx + 2 Ey + F = 0, т.е. .

1. Используем пакет linalg.

2. Зададим коэффициенты линии второго порядка.

> a:=2: b:=10/2: c:=12: d:=-7/2: e:=18/2:

1. Зададим матрицу из коэффициентов уравнения линии, и определяем тип уравнения линии, для чего находим ее определитель.

> Matrix([[a,b], [b,c]]);

> det(%);

1. Аналогично проверяем уравнение второй линии, предварительно очистив значения коэффициентов.

> a:='a': b:='b': c:='c': d:='d': e:='e':

> a:=3: b:=-8/2: c:=7: d:=8/2: e:=-15/2:

> Matrix([[a,b], [b,c]]);

> det(%);

1. Аналогично проверяем уравнение третьей линии, предварительно очистив значения коэффициентов.

> a:='a': b:='b': c:='c': d:='d': e:='e':

> a:=25: b:=-20/2: c:=4: d:=-12/2: e:=20/2:

> Matrix([[a,b], [b,c]]);

> det(%);

1. Получим, уравнение первой линия является гиперболическим, второй – эллиптическим, третьей – параболическим.

Задача 3. Круг радиуса а катится без скольжения по окружности , оставаясь вне её. Траектория некоторой точки M окружности катяще­гося круга называется кардиоидой. Построить ее график.

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим основную окружность.

> circle(c0, [point(o, 0, 0), 1]):

3. Зададим случайную точку на окружности.

> randpoint(A0, c0):

1. Произведем 50 окружностей, которые окутывают кардиоиду.

> i:= 1: n:= 50:

> while i <= n do

randpoint(A||i, c0);

if evalf(HorizontalCoord(A0) - HorizontalCoord(A||i)) <> 0 then

circle(c||i, [A0, A||i]);

i:= i+1;

end if;

end do:

1. Построим график.

> draw({ seq(c||i, i=0..n) }, printtext=false, scaling=constrained,

axes=none, title="Cardioid");

Задача 4. Из начала координат проведён луч, пересекающий данную окружность (а > 0) в точке В; на луче по обе стороны от точки В отложены равные между собой отрезки ВМ и BN постоянной длины b, При вращении луча точки М и N описывают кривую, называемую улиткой Паскаля. Построить ее график.

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим основную окружность.

> circle(c0, [point(o, 0, 0), 1]):

3. Зададим случайную точку вне окружности.

> point(A0, 2, 0):

1. Произведем 50 окружностей, которые окутывают кардиоиду.

> i:= 1: n:= 50:

> while i <= n do

randpoint(A||i, c0);

if evalf(HorizontalCoord(A0)-HorizontalCoord(A||i))

<> 0 then

circle(c||i, [A0, A||i]);

i:= i+1;

end if;

end do:

1. Построим график.

> draw({ seq(c||i, i=0..n) }, printtext=false, scaling=constrained, axes=none, title="Limacon de monsieur Pascal");

Поиск по сайту: