Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы

- уравнение окружности с центром в точке А (a; b) и радиусом R.

- каноническое уравнение эллипса, где .

Эксцентриситетом эллипса называется число

- уравнение гиперболы.

и - уравнения асимптот гиперболы.

- уравнение параболы, где p – параметр.

- уравнение касательной к окружности в точке

- уравнение касательной к эллипсу в точке

- уравнение касательной к гиперболе в точке

- уравнение касательной к параболе в точке

Задача 1. Найти на окружности заданной уравнением , точки а) с абсциссой 5; б) с ординатой 3.

1. Введем абсциссу 5. Подставим в уравнение окружности.

> >	x:=5: x^2+y^2=25;

2. Решим данное уравнение относительно у.

> solve(%,y);

3. Аналогично, находим точки с ординатой 3, предварительно очистив значение х.

> x:='x':

> y:=3:

> x^2+y^2=25;

> solve(%,x);

1. Получим, 1) (5,0); 2) (4,3) и (-4,3).

Задача 2. Составить уравнение эллипса и построить, зная, что расстояние между фокусами равно 6 и большая полуось равна 5.

1. Используем пакет plots.

2. Зададим большую полуось а, и половину расстояний между фокусами с.

> a:=5: c:=3:

3. Найдем малую полуось.

> b:=(a^2-c^2)^(1/2);

> evalf(%);

4. Найдем каноническое уравнение данного эллипса, предварительно очистив значение b.

> b:='b':

> b:=4:

> e1:=x^2/a^2+y^2/b^2-1;

5. Построим данный эллипс.

> implicitplot(e1, x=-10..10, y=-10..10);

Задача 3. Дано уравнение эллипса . Вычислить длину осей, координаты фокусов.[Цубербиллер, Гл.5, п.2, №376]

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим уравнение эллипса, предварительно указав названия осей координат.

> _EnvHorizontalName:='x': _EnvVerticalName:='y':

> ellipse(e1,25*x^2+169*y^2-4225=0):

3. Рассмотрим описание.

> detail(e1);

4. Получим, длина большой полуоси равна 26, длина малой – 10; координаты фокусов (-12,0) и (12,0).

Задача 4. Дана гипербола . Требуется:

a. Вычислить координаты фокусов;

b. Вычислить эксцентриситет;

c. Написать уравнения асимптот и директрис.

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим уравнение гиперболы.

> hyperbola(h1, x^2/9-y^2/16=1, [x,y]):

3. Найдем координаты фокусов, предварительно задав их.

> foci(h1), map(coordinates,foci(h1));

4. Найдем уравнения асимптот.

> asymptotes(h1), map(Equation, asymptotes(h1));

6. Зададим большую полуось а, малую полуось b, найдем с.

> a:=3: b:=4:

> c:=sqrt(a^2+b^2);

> c:='c':

> c:=5:

5. Найдем эксцентриситет и уравнения директрис.

> e=a/c;

> y1=-b/e; y2=b/e;

6. Получим, координаты фокусов , эксцентриситет ε=3/5, уравнения асимптот и , уравнения директрис у1=-20/3, у2=20/3.

Задача 5. Найти точки пересечения параболы с прямой (О.Н. Цубербиллер, Гл. V, п. 4, № 488 (п.1)).

1. Используем пакет student.

2. Находим точки пересечения, решением системы из двух уравнений.

> intercept(6*x+y-6=0, y^2=18*x, {x,y});

3. Получим, парабола и прямая пересекаются в точках (1/2, 3) и (2, -6).

Поиск по сайту: