Глава 3. Линии первого порядка

Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности перпендикулярности двух прямых.

Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение прямой «в отрезках».

Задача определения расстояния от точки до прямой.

Уравнение пучка прямых.

Полярное уравнение прямой.

и - формулы уравнения прямой, проходящей через две данные точки М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂).

- формула уравнения прямой с угловым коэффициентом, где , , α – угол, образованный прямой с положительным направлением оси абсцисс, b – величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

- общее уравнение прямой.

Расположение прямой относительно осей координат, если ее уравнение :

1. . Уравнение прямой принимает вид . Прямая параллельна оси х. Если и , прямая совпадает с осью х.
2. . Уравнение прямой принимает вид . Прямая параллельна оси у и совпадает, если .
3. . Прямая проходит через начало координат.

Задача 1. Найдите точку пересечения прямых, заданных уравнениями и .

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим прямые l1 и l2.

1. Найдем точку пересечения этих прямых и ее координаты.

> intersection(G,l1,l2);

> coordinates(G);

1. Получим, точка пересечения прямых l1 и l2 – G(-1,2)

Задача 2. Даны прямые: у=2х+3 и у=-х+4.

а) Проверить, проходят ли они через точки А(-1;1), В(4;0), С(3;1), D(0;0).

б) Найти точку пересечения прямых.

Вариант а.

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим прямые l1 и l2 и точки.

1. Проверим принадлежность точек соответствующим прямым.

> IsOnLine(A,l1);

> IsOnLine(B,l1);

> IsOnLine(C,l1);

> IsOnLine(D,l1);

> IsOnLine(A,l2);

> IsOnLine(B,l2);

> IsOnLine(C,l2);

> IsOnLine(D,l2);

1. Найдем точку пересечения этих прямых и ее координаты.

> intersection(G,l1,l2);

> coordinates(G);

1. Получим, прямая l1 проходит через точку А, прямая l2 – через точки В и С, точка пересечения прямых l1 и l2 – .

Задача 3. В каждом из последующих случаев определить взаимное расположение прямых и . Если прямые пересекаются, найти координаты точки пересечения:

1.

2.

3. [Смирнова, №271]

1 вариант.

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим прямые l1 и l2, и найдем их пересечение.

3. Получим прямые l1 и l2 параллельны.

2 вариант.

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим прямые l1 и l2, и найдем их пересечение.

> >	line(l1,[point(A1,[1,-3]), point(A2,[3,-2])]): line(l2,[point(A3,[7,0]), point(A4,[3,-2])]): intersection(G,l1,l2); intersection:, "the two given lines are the same"

3. Получим прямые l1 и l2 совпадают.

3 вариант.

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим прямые l1 и l2, и найдем их пересечение.

> > >

line(l1,2*x+3*y+1=0,[x,y]): line(l2,[point(A3,[1,-2]), point(A4,[4,0])]): intersection(G,l1,l2);

3. Найдем координаты точки пересечения G.

> coordinates(G);

4. Получим в первом случае прямые параллельны, во втором – совпадают, в третьем пересекаются в точке .

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника , и уравнение одной из его медиан. Составить уравнение третьей стороны треугольника, зная, что на ней лежит точка (3,9). [Смирнова, №275]

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим прямые двух сторон треугольника, медианы, а также точку Т(3,9).

3. Построим график данных трех прямых и точки.

> draw([T,a,b,m (color=blue)]);

Анализ:

По графику видно, что медиана выпущена из точки пересечения заданных сторон треугольника (вершина А). Определим координаты вершин . Точка и , следовательно Т – середина ВС.

4. Получим в первом случае прямые параллельны, во втором – совпадают, в третьем пересекаются в точке .

> solve({x1+x2=2*3,y1+y2=2*9,2*x1-y1=0,5*x2-y2=0},{x1,x2,y1,y2});

1. По двум точкам найдем уравнение искомой стороны треугольника, и упростим его.

> line(l3,[point(B,4,8),point(C,2,10)]): Equation(l3,[x,y]);

> %/2;

1. Получим уравнение третьей стороны треугольника .

Задача 5. Дана прямая , содержащая основание ВC треугольника АВС, и вершина А(3,-4), противолежащая этому основанию. Найти уравнение и длину высоты, опущенной из А на сторону ВС. [Смирнова, №294]

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим координаты точки А и прямую ВС.

> point(A,3,-4): line(bc,x-2*y+1=0,[x,y]): Анализ: Вектор (1,-2) – нормальный вектор для ВС, вектор (2,1) – направляющий для высоты AH и .   3. Зададим прямую АН и выведем ее уравнение. > line(AH,2*(x-3)+(y+4)=0,[x,y]): Еquation(AH,[x,y]); 4. Найдем точку пересечения Н прямых АН и ВС. > intersection(H,AH,bc): coordinates(H); Найдем длину высоты (расстояние между двумя точками А и Н). > distance(A,H); > evalf(%); > round(%); Получим, уравнение высоты , ее длина равна 5 см.

Задача 6. На прямой найти такую точку С, чтобы сумма расстояний до двух данных точек А(-7,-3) и В(5,5) была бы наименьшей. [Смирнова, №297]

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим данные прямую, две точки А,В и неизвестную точку С.

> line(l,2*x-3*y+18=0,[x,y]): > point(A,-7,-3): point(B,5,5): > point(C,c1,c2);

3. Выражаем параметр с2 через параметр с1, зная, что .

> r:=subs({x=c1,y=c2}, Equation(l,[x,y]));

> c2:=solve(lhs(r),c2);

1. Находим значения параметра с1, при котором сумма расстояний минимальна.

> s:=distance(A,C)+distance(C,B);

> minimize(s,location);

> c1:=-3;

1. Находим координаты точки С.

> coordinates(C);

1. Получим, координаты точки С(-3,4).

Задача 7. Написать уравнения сторон равнобедренной трапеции MNKG, зная середины ее оснований А(1,1), В(2,8) и точки С(4,-3), D(-15,14) на ее боковых сторонах. [Смирнова, №299]

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим координаты точек А, В, С, D.

3. Зададим прямую АВ и выведем ее уравнение.

> line(ab,[A,B]):

> _EnvHorizontalName:=x: _EnvVerticalName:=y:

> Equation(ab);

Анализ:

Вектор (-1,-7) является нормальным для прямых l1 и l2 – оснований трапеции. Пусть .

4. Запишем уравнения l1 и l2.

> line(l1,(x-1)+7*(y-1)=0):

> line(l2,(x-2)+7*(y-8)=0):

1. и , тогда:

> t1:=x2-2+7*(y2-8)=0:

> t2:=x1-1+7*(y1-1)=0:

1. Прямая МК является боковой стороной, , поэтому

> t3:=(4-x1)*(y2-y1)=(x2-x1)*(-3-y1):

1. Прямая NG является боковой стороной, , точка N симметрична точке М относительно точки А, G симметрична относительно В, поэтому

> t4:=(-15-(2*1-x1))*((2*8-y2)-(2*1-y1))=((2*2-x2)-(2*1-x1))*(14-(2*1-y1)):

1. Найдем координаты точек М и К, решив систему из четырех уравнений.

> solve({t1,t2,t3,t4},{x1,y1,x2,y2});

1. Зададим координаты точек М, К и прямую l3.

> x1:=8: y1:=0: x2:=16: y2:=6:

> point(M,x1,y1): point(N,x2,y2):

> line(l3,[N,M]):

1. Вторую боковую сторону NG=l4 получаем с помощью осевой симметрии относительно АВ.

> reflection(l4,l3,ab);

1. Выводим все уравнения сторон трапеции.

> Equation(l4); Equation(l3); Equation(l2); Equation(l1);

1. Уравнения сторон равнобедренной трапеции: , , и .

Задача 8. Дано уравнение стороны ромба и уравнение его диагонали . Написать уравнения остальных сторон ромба, зная, что точка К(-9-1) лежит на стороне, параллельной данной. [Смирнова №300]

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим прямые стороны ромба, его диагонали и точки К.

3. Пусть l2 – сторона ромба, параллельная данной l1, и .

> line(l2,(x+9)+3*(y+1)=0):

1. Найдем вершину ромба А, как точку пересечения диагонали d1 и стороны l1. И найдем ее координаты.

> intersection(A,l1,d1):

> detail(A);

1. Найдем вершину ромба С, как точку пересечения диагонали d1 и стороны l2.
2. Найдем точку пересечения диагоналей, как середину отрезка АС.

> midpoint(O,A,C):

> detail(O);

1. Т.к. вторая диагональ , то

> line(d2,-1*(x+2)+2*(y-0)=0):

1. Найдем вершину ромба В, как точку пересечения диагонали d2 и стороны l1. получим уравнение стороны l3=ВС.

> intersection(B,l1,d2):

> line(l3,[B,C]):

1. Найдем вершину ромба D, как точку пересечения диагонали d2 и стороны l2. получим уравнение стороны l4=AD.

> intersection(D,l2,d2):

> line(l4,[D,A]):

1. Выводим уравнения трех сторон ромба.

> Equation(l4); Equation(l3); Equation(l2);

1. Уравнения трех сторон ромба: , и .

Задача 9. На прямой найти точки, находящиеся на расстоянии от прямой . [Смирнова №301]

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим координаты точки .

3. Найдем искомые точки, предварительно высчитав расстояние от точки до прямой, и подставив значения.

> d:=distance(P,l1);

> solve({2*x1-3*y1+6=0,d=2/5},{x1,y1});

1. Получим, две точки и

Задача 10. Дан треугольник с вершинами А(1,1), В(-1,-1), С(7,-5). Найти уравнения и длины биссектрис внутренних углов, уравнения и длины медиан, уравнения и длины высот, центр О описанной окружности и ее радиус R, центр О2 вписанного круга и его радиус r. [Смирнова №321]

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим координаты вершин треугольника, а также сам треугольник.

3. Найдем уравнение биссектрисы АН=h1 и ее длину. Аналогично определяются все остальные биссектрисы.

> bisector(h1,A,T):

> Equation(h1,[x,y]);

> evalf(simplify(%));

> %/33.94112550;

> bisector(h1,A,T,H):

> distance(A,H);

> evalf(%);

4. Найдем уравнение медианы BM=m1 и ее длину. Аналогично определяются все остальные медианы.

> median(m1,B,T):

> Equation(m1,[x,y]);

> median(m1,B,T,M):

> distance(B,M);

5. Найдем уравнение высоты BM=m1 и ее длину. Аналогично определяются все остальные медианы.

> altitude(d1,C,T):

> Equation(d1,[x,y]);

> altitude(d1,C,T,D):

> distance(C,D);

6. Находим описанную окружность w с центром в точке О и радиуса R.

> circumcircle(w,T,'centername'=O):

> detail(w);

7. Находим вписанную окружность w2 с центром в точке О2 и радиуса r.

> incircle(w2,T,'centername'=O2):

> detail(w2);

Задача 11. Найти внутренние углы треугольника, образованного прямыми: . [Смирнова, №331]

1. Используем пакет geometry.

2. Зададим прямые.

Поиск по сайту: