Модель Блэка-Сколеса

При расчете теоретической премии опциона большое значение имеет, как выбрана математическая модель цены базисного актива. Наиболее часто в настоящее время используется модель в виде скалярного линейного СДУ с мультипликативным шумом с постоянными коэффициентами роста и волатильности:

dSt = St dt + St dw(t).

(1)

Знаменитая формула Блэка-Сколеса расчета премии стандартного опциона купли европейского стиля, полученная для такой модели, записывается в виде

(2)

где

Ф(x) - функция распределения стандартной нормальной случайной величины, K - цена исполнения опциона, S₀ - цена или значение базисного актива в момент покупки опциона, r - безрисковая процентная ставка, T - оставшийся срок до истечения контракта.

Для моделей других типов, а также для опционов американского стиля такой простой формулы не получено. Как видим, формула Блэка-Сколеса связывает размер премии с шестью параметрами:

Pr = Pr(S₀, K, T, r, , ).

Премия опциона купли европейского стиля прямо пропорциональна цене базисного актива S₀, волатильности , оставшемуся сроку до истечения контракта T, безрисковой процентной ставке r и обратно пропорциональна цене исполнения K.

Премия опциона продажи может быть записана в аналогичном виде:

(3)

При расчете премии параметр в СДУ задается по-разному в зависимости от типа базисного актива:

• = r для опционов на акции, не выплачивающие дивиденды;
• = r-q для опционов на акции, выплачивающие дивиденды с заданной непрерывной ставкой q;
• = r-r_f для валютного опциона, причем r - безрисковая ставка процента в валюте торговли, r_f - в базисной валюте;
• = r-q для опционов на акционные индексы, где q - осредненная ставка дивидендов, которые выплачиваются по включенным в индекс акциям в течение срока опционного контракта;
• = 0 для опционов на фьючерсные контракты, причем здесь S_t - текущая фьючерсная цена;
• = r-q для облигационных опционов, где q - приведенная купонная процентная ставка, а S_t - текущая цена базисной облигации.

Фактически, выбор значений параметров и является составной частью процедуры задания будущего гипотетического поведения цены базисного актива при расчете премии опциона.

Поиск по сайту: