Аналітична математична модель поверхні (підводного аппарата)

У загальному випадку замкнена поверхня, яка описує підводний аппарат (як у нашому прикладі), розподіляється на кінцеву (не дуже велику) кількість частин, кожна з яких описується аналітичною залежністю, а сусідні участки гладко стикуються один з одним. У загальному випадку аналітична ММСП можна уявити собі як аналітичною функцію F(x,y,z) = 0, яка дозволяє зв’язати три координати поверхні і таким чином визначає третю координату, якщо дві з них відомі.

У випадках, коли контур перерізів поверхні базовими площинами описується достатньо простими аналітичними залежностями (еліпс, коло, криловий профіль, прогресика, тощо), а кількість частин поверхні із різними законами залежності форми від координат не перевищує 3-5, доцільно формувати аналітичну модель. Як приклад розглянемо легкий корпус підводного апарата (ПА), загальний вигляд якого зображен на рис..3. Легкий корпус це тонка оболонка, яка виготовлена із склопластика і призначена захищати внутріщній устрій апарату від механічних пощкоджень (не водонепроникнена) та створювати умови для зменшення опору води і покращанню керованості при переміщенні під водою.

-

Рис. 3 Зовнішній вигляд ПА

Розріжемо поверхню площинами наступного розташування:

- вертикальною площиною, яка проходить вздовж апарату і є його площиною симетрії, яка має назву діаметральна площина (ДП);

- вертикальною площиною, яка проходить перпендикулярно ДП та проведена через абсцису з найбільшою шириною ПА, яка має назву площина мідельшпангоуту;

- горизонтальтальною площиною, яка проходить через середину висоти ПА і є горизонтальною площиною симетрії.

Отримані таким чином перерізи зображені на Рис. 4.

Рис. 4. Перерізи ПА координатними площинами.

Початок координат розташовано на границі носового та кормового загострення l_n, l_k.

Габаритні розміри ПА: висота H, ширина B, довжина L= l_нз + l_кз.

H_i, B_i - габаритні висота та ширина перерізу з абсцисою X_i.

Якщо уважно подивитись на переріз, який отримано від перетину ПА площиною ДП, то можна побачити, що довжина ПА ділиться площиною мідельшпангоуту на дві частини(Ln з додатними значеннями Х, та Lk із від’ємними значеннями Х). Ці частини мають різні закони формування поверхні. Обидві частини гладко стикуються на граничній координатній площині YOZ.

Перерізи, які отримуються від перетину поверхні площинами, які паралельні YOZ, для всіх абсцис мають контур еліпсу з рівнянням:

(1)

де: а, b - півосі еліпсу, які обчислюються за формулами:

а=B_x/2,b=H_x/2; (2)

H_x, B_x - габаритні розміри перерізу ПА площиною, яка паралельна координатній площині YOZ і має абсцису X_i (див. Рис. 4).

Рис. 5 Контур перерізу ПА площиною, яка паралельна координатній площині YOZ.

Форма перерізів однакова для будь-яких абсцис, a, b – півосі еліпсу і визначаються за формулами (2, 3, 4).

Габаритні висота та ширина поверхні при абсцисі Х (Н_х, В_х) визначаються за різними законами для носової та кормової частин ПА:

Теж саме для кормової частини

де: B_x H_x – ширина та висота вертикального перерізу ПА з абсцисою X

У посібнику розглядаються складні замкнені поверхні, які охоплюють такі реальні об’єкти як судна, літаки, автомобілі, тощо. Фактично, поверхня охоплює тіло деякого реального об’єкту, з яким необхідно працювати (визначати його геометричні та фізичні властивості).

Розглянемо принципові особливості алгоритмів розв’язання тих же задач, але з ПА. Вони мають багато спільного із аналогічними задачами для точкової моделі поверхні,, але мають і свої особливості. Як правило, математичні моделі і алгоритми їх реалізації для цього випадку значно спрощуються.

Визначити контур перерізу, який отримується від перетину ПА вертикальною площиною, яка паралельна координатній площині YOZ з характерною координатою Lk<=Xi<=Ln.

У зв’язку з тим, що такий переріз має контур еліпсу, то для його визначення для заданої характерної координати X_i обчислити півосі еліпсу за формулами(2) в залежності від знаку X_i, після чого контур повністю визначається рівнянням (1).

Визначити контур перерізу, який отримується від перетину ПА площиною, яка паралельна горизонтальній координатній площині ХOY з характерною координатою –H <= Zi <= H.

Ця задача складається із визначення координат точок перетину площини з перерізами, які утворюються від перетину поверхні вертикальними площинами, які паралельні координатній площині YOZ. Враховуючи те, що поверхня має вертикальну та горизонтальну площини симетрії, достатньо визначити тільки одну половину контуру.

Абсцису першої точки перерізу для носової частини ПА X_н, нескладно знайти з виразу (3), де замість значення.H_x, або В_x підставити характерну аплікату площини Zi, яка перетинає поверхню. Значення Y₁=0, тому що ця точка лежить на вертикальній повздовжній площині симетрії XOZ.

Абсцису останній точки X_k визначити аналітично досить складно, тому її краще знайти чисельним методом. Для цього треба локалізувати точку перетину контуру диаметрального батокса із слідом площини, яка перетинає поверхню. Це означає, що необхідно знайти значення Xi, яке лежить ліворуч від Xk та Xj, яке лежить праворуч від неї. Таким чином приходимо до задачі уточнення корня рівняння F(x) на відрізку Xi-Xj, що можна зробити будь-яким методом, наприклад, діленням відрізка пополам.

Рис. 14. Визначення контуру перерізу ПА площиною, яка паралельна координатній площині XOZ.

Координати проміжних точок контура отримуються за наступним алгоритмом:

- відрізки 0-Xn та 0-Xk розбиваються на певну кількість однакових інтервалів;

- через абсциси точок ділення провести вертикальні площини паралельні координатній площині YOZ. Перерізи, які отримуються від такого перетину є еліпси з півосями, які у свою чергу визначаються перетином площини з контурами диаметрального батокса і диаметральній ватерлінії. Чисельні значення півосей визначаються за формулами (2), координати точок перетину для кожного перерізу з січною площиною можна визначити із вираза (1):

; ;

Для отримання перерізу точки на контурі розташовуються у відповідній послідовності у вибраній структурі даних.

Поиск по сайту: