Геометричні характеристики плоского замкненого контура

Задача визначення геометричних характеристик площин базового перерізу можна звести до задачі обчислення площі та координат центра ваги замкненеого контуру, який відсікається від базового площиною довільного розташування. Визначемо геометричні характеристики плоского замкненого контура, який описується координатами базових точок які розташовані на контурі, перша та остання точки співпадають, Рис 8. Для розв'язання цієї задачі краще за все використати формулу Гріна.

Рис. 8. Замкнений плоский контур (ламана лінія).

Коротко розглянемо її основу (Рис. 9). На малюнку зображен відрізок АВ, кінці відрізку з’єднані з початком координат, розглядаємо трикутник ОАВ. Рахуємо, що трикутник описується координатами своїх вершин: Y_a, Z_a, Y_b, Z_b, Y₀=0, Z₀=0 (0 тому, що ця вершина завжди співпадає з початком координат);

Рис 9. Застосування формули Гріна для окремої ланки ламаної, яка охоплює базовий контур.

Площа трикутника ОАВ за формулою Гріна (Рис. 9):

S_oab=0.5*(Z_a*Y_b – Z_b*Y_a); (12)

Координати центра ваги площі трикутника OAB(Y_s, Z_s) визначимо як середньоарифметичне координат вершин за формулою

Y_s=(Y_b+Y_a+Y₀)/3; Z_s=(Z_b+Z_a+Z₀)/3; (13)

Для нашого випадку у формулі можна залишити тільки дві координати, тому що третя (Z₀,Y₀) завжди співпадає з початком координат і має нульове значення.

Рис 10. Обчислення геометричних характеристик (S,Zs,Ys) площі трикутника.

Практичне застосування формули Гріна розглянемо на прикладі визначення геометричних характеристик площі трикутника (Рис. 10) Для цього треба сформувати математичну модель - замкнений контур, який охоплює його площу. Це буде ламана з трьома ланками (AB,BC, CА). Для розв'язання задачі треба обійти усі ланки у будь-якому напрямку і до кожної застосувати формулу Гріна(12). Площини трикутника ОАВ та трикутників ОВС, ОСА, які визначаються за формулами (12) будуть мати різні знаки. Після сумування їх площин отримаємо площину замкненого контуру:

S_abс= S_oab + S_oac + S_ocb. (14)

Координати центра ваги для нашого прикладу з трикутником отримаємо через статичні моменти системи трикутників аналогічно (7, 8):

Xs_abc *S_abc=Xs_abo *S_abo + Xs_bco * S_bco + Xs_aco*S_aco, звідки

Xs_abo *S_abo + Xs_bco * S_bco + Xs_aco*S_aco

Xs_abc= (15)

S_abc

Аналогічно

Ys_abo *S_abo + Ys_bco *S_bco + Ys_aco*S_aco

Ys_abc= (16)

S_abc

у свою чергу із формул (13) маємо:

Xs_abо=(Xa+Xb+Xо) / 3;

Xs_bcо=(Xb+Xc+Xo) / 3;

Xs_acо=(Xa+Xc+Xo) / 3;

де Xa, Xb, Xc, Xo – абсциси вершин трикутників АВС, ABO, BCO

У загальному випадку при обході замкненого контуру (Рис. 8) площини трикутників, які побудовані на ланках ламаної, та їх статичні моменти сумуються, а координати центра ваги площі замкненого контуру визначаються за формулами:

; ; (17)

де S_і - площа трикутника, який побудован на i-й ланці (див. рис. 9);

Z_і, Y_і – координати ЦВ площі і-го трикутника.

і=1,2,3 - номери ланок ламаної, яка утворює математичну модель замкненого контура.

Знаки координат центра ваги площі не залежать від напрямку обходу контуру. а знак площі контура при одному із можливих напрямків обходу може стати від’ємним. Для того щоб не залежати від напрямку обходу контуру, після виконання обчислень геометричних характеристик площі, останню треба взяти по абсолютній величині.

Наведений алгоритм правильно працює для замкненого контура будь-якої форми. Особливо корисною властивістю наведеного алгоритму є його регулярність, тобто незалежність прийомів обробки поточної ланки від її розташування у ламаній

(перша, проміжна, остання).

Поиск по сайту: