Інтервальні оцінки математичного сподівання

Нехай випадкова величина розподілена за нормальним законом, тобто характеризується густиною розподілу:

Розглянемо два випадки оцінювання невідомого параметра розподілу на основі вибірки:

· нехай параметр (середнє квадратичне відхилення) — відомий. Тоді рівність (2.10) виглядає так :

(2.11)

де вибіркове середнє (1.11), — обсяг вибірки, а — розв’язок рівняння де — функція Лапласа, тобто інтервал є довірчим інтервалом, що «накриває» невідомий параметр з надійністю ;

· нехай параметр (середнє квадратичне відхилення) — невідомий. Тоді рівність (2.10) має вигляд :

(2.12)

де — вибіркове середнє, — виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення (2.8), — обсяг вибірки, — розв’язок рівняння :

(2.13)

де — густина розподілу Стьюдента. Розв’язок рівняння (2.13) знаходимо з таблиці додатка 4 за даними значеннями обсягу вибірки та надійності

Приклад 2.3. Відомо, що випадкова величина , яка в результаті спостереження набула значень: розподілена за нормальним законом з . Знайти довірчий інтервал, який з надійністю «накриває» невідоме математичне сподівання випадкової величини

Розв’язання. Оскільки середнє квадратичне відхилення — відоме, то довірчий інтервал шукатимемо за формулою (2.11). Формула (2.11) передбачає, що відомим є і . Знайдемо за статистичним матеріалом задачі при обсязі вибірки . Маємо:

знайдемо з рівняння , використавши таблицю додатка 2,з якої знаходимо що

За формулою (2.11) маємо:

Звідки остаточно маємо:

Отже інтервал - є довірчим інтервалом, який «накриває» невідомий параметр з надійністю

Приклад 2.4. За спостереженнями випадкова величина — місячний прибуток службовців (в тис. грн.) характеризується

таким статистичним розподілом вибірки:

Прибуток
К-сть фермерів,

Припускаючи, що випадкова величина має нормальний закон розподілу ймовірностей, знайти інтервальну оцінку невідомого математичного сподівання з надійністю

Розв’язання. В цьому прикладі середнє квадратичне відхилення — невідоме, тому для отримання інтервальної оцінки для невідомого параметра використаємо формулу (2.12). Формула (2.12) передбачає, що є відомими вибіркове середнє виправлене середнє квадратичне відхилення та Знайдемо перші дві оцінки із заданого статистичного розподілу вибірки:

Отже

За обсягом вибірки і надійністю з таблиці додатка 4 знаходимо

Отже за формулою (2.12) маємо:

Звідки остаточно отримуємо:

Таким чином інтервал — це надійний інтервал, який «накриває» невідоме математичне сподівання (при невідомому ) з надійністю .

Поиск по сайту: