Однофакторний дисперсійний аналіз

Нехай генеральні сукупності розподілені за нормальним законом та мають однакові, хоч і невідомі, дисперсії. Математичні сподівання також невідомі, однак можуть бути різні.Потрібно для заданого рівня значущості за вибірковими середніми перевірити нульову гіпотезу про рівність математичних сподівань. Здавалося б, що для порівняння кількох вибіркових середніх можна порівнювати їх попарно. Однак із зростанням їх кількості зростає й найбільша різниця між ними: вибіркове середнє нової вибірки може виявитись більше від найбільшого або меншим від найменшого з вибіркових середніх, отриманих до нового досліду. Через це для порівняння кількох вибіркових середніх використовують інший метод, який базується на порівнянні дисперсій і тому називається дисперсійним аналізом .

На практиці дисперсійний аналіз застосовують для того, щоб встановити, чи суттєво впливає деякий фактор ,який має рівнів на випадкову величину , яку ми досліджуємо. Наприклад, якщо потрібно вияснити, який вид добрив найдоцільніше застосовувати для отримання найкращого врожаю, то фактор — це добриво, а його рівні — види добрив.

Основна ідея дисперсійного аналізу полягає в порівнянні «факторної дисперсії», яка породжується дією фактора і «залишковою дисперсією», зумовленою випадковими причинами. Якщо відмінність між цими дисперсіями — суттєва, то фактор має суттєвий вплив на випадкову величину ; в цьому випадку групові вибіркові середні також значно відрізняються.

Іноді дисперсійний аналіз застосовується для встановлення однорідності кількох вибірок. Дисперсії цих вибірок — рівні за припущенням.; якщо дисперсійний аналіз покаже,що й математичні сподівання – однакові, то в цьому сенсі вибірки є однорідними. Однорідні вибірки можна об’єднати в одну і таким чином отримати повнішу інформацію про неї, а, отже й надійніші висновки.

Нехай потрібно дослідити вплив деякого фактора на випадкову величину яка розподілена за нормальним законом і на основі цього дослідження виявити, наскільки цей вплив істотний. Для цього розглядаються різні рівні дії фактора і для кожного рівня складають вибірку.

Для прозорості схеми застосування однофакторного дисперсійного аналізу вважатимемо, що вибірки на кожному рівні мають однаковий обсяг , а загальний обсяг вибірки дорівнює .

Опишемо алгоритм дисперсійного аналізу.

Позначимо середнє значення вибірки, отриманої на рівні , через . Якщо фактор не впливає на випадкову величину , то всі середні значення повинні бути майже однаковими, а у випадку, коли вплив фактора — істотний, то середні значення значно відрізнятимуться один від одного. Це означає,що потрібно перевірити гіпотезу:

альтернативної гіпотези:

умова не виконується.

Нульову гіпотезу перевірятимемо за допомогою критерію Фішера-Снедекора, в основі якого є подання загальної дисперсії у вигляді суми міжгрупової та «залишкової» дисперсій:

(4.1)

Помноживши рівність (4.1) на обсяг вибірки , отримаємо формулу для суми квадратів відхилень(ефектів):

(4.2)

де - розсіяння,спричинене впливом фактора а — розсіяння, спричинене дією інших залишкових факторів.

Величини і можна записати конструктивно, вийшовши з представлення суми квадратів відхилень ,а саме:

де

(4.3)

Зауважимо, що в останніх формулах використані наступні позначення:

— середнє значення -го рівня фактора (4.4)

— загальне середнє. (4.5)

Зробивши перетворення у формулі (4.3), можна прийти до зручніших формул для обчислення величин та , а саме:

(4.6)

де

(4.7)

(4.8)

Для зручності дані спостережень записують в таблицю:

Таблиця 4.1

Рівні фактора
		…	…	……	…
…	…….	…	…	……	…

За відносними значеннями розсіянь і вже можна зробити висновки про вплив фактора на випадкову величину , однак значно надійніші висновки отримуємо, обчисливши наступні величини:

(4.9)

Ці величини називаються відповідно виправленою загальною (),виправленою факторною () і виправленою залишковою() дисперсіями, а числа:

(4.10)

— ступенями їх вільності.

Відношення

, (4.11)

як відомо, є випадковою величиною, яка розподілена за законом Фішера-Снедекора з і ступенями вільності. Результати обчислень зручно записати в таблиці:

Таблиця 4.2

Джерела мінливості	Суми квадратів	Ступені вільності	Виправлені дисперсії

Для даного рівня значущості і ступенів вільності і за таблицею додатка 6 критичних значень розподілу Фішера-Снедекора знаходимо .

Порівняємо і . Якщо ,то нульова гіпотеза відхиляється, як малоймовірна,а якщо , то гіпотеза для заданого рівня значущості приймається.

Зауважимо що, якщо нульова гіпотеза про рівність математичних сподівань справджується, то всі дисперсії (4.6) є незміщеними оцінками генеральної дисперсії .

Поміркуємо над запропонованим алгоритмом дисперсійного аналізу порівняння факторної і залишкової дисперсій за критерієм Фішера-Снедекора.

1. Нехай нульова гіпотеза про рівність групових середніх — вірна. Тоді факторна і залишкова дисперсії є незміщеними оцінками невідомої дисперсії генеральної сукупності і, отже, відрізняються незначно. Якщо порівняти ці оцінки за критерієм Фішера-Снедекора, то цей критерій вкаже на те, що нульову гіпотезу про рівність факторної та залишкової дисперсій слід прийняти.

2. Нехай гіпотеза про рівність групових середніх не справджується. В цьому випадку з ростом відмінності між груповими середніми збільшується і факторна дисперсія, а разом з нею і відношення . Отже стає більше ніж і тому гіпотеза про рівність двох дисперсій (факторної та залишкової) не справджується.

Отже, для того, щоб перевірити нульову гіпотезу про рівність групових середніх вибірок, які розподілені за нормальним законом з однаковими невідомими дисперсіями,досить перевірити за критерієм Фішера-Снедекора нульову гіпотезу про рівність факторної і залишкової дисперсій. В цьому й полягає метод дисперсійного аналізу.

Зауваження. Якщо факторна дисперсія виявиться меншою ніж залишкова, то це означає, що нульова гіпотеза про рівність групових середніх справджується, і нема потреби застосовувати в цьому випадку критерій Фішера-Снедекора.

Приклад 4.1. Двома приладами виконано по 2 виміри фізичної величини, справжній розмір якої дорівнює . Розглядаючи в якості фактора систематичну похибку ,, а в якості його рівнів — систематичні похибки і відповідно першого та другого приладів, показати, що визначається систематичними, а — випадковими похибками вимірів.

Розв’язання. Введемо позначення: — випадкові похибки першого та другого вимірів 1-го приладу, — випадкові похибки першого та другого вимірів 2-го приладу. Ці дані можна записати в таблицю:

Таблиця 4.3

Обрахуємо групові середні та загальне середнє за формулами (4.4),(4.5):

(4.12)

(4.13)

(4.14)

Обрахуємо факторний ефект за першою з формул (4.3), використовуючи формули (4.12)-(4.14).

Остання формула показує, що факторний ефект визначається в основному першим доданком, оскільки випадкові помилки досить малі. Отже дійсно характеризує вплив фактора

Обчислимо залишкову суму за другою з формул (4.3):

Остання формула показує,що визначається випадковими помилками вимірів і .

Приклад 4.2. Проведено 4 випробування на кожному з 3-х рівнів фактора .Результати випробувань наведені в таблиці:

Таблиця 4.4

Рівні фактора	Вибірки	Групові середні	Загальне середнє

Потрібно за допомогою методу дисперсійного аналізу за рівня значущості перевірити нульову гіпотезу про рівність математичних сподівань генеральних сукупностей, з яких зроблені вибірки таблиці, за умови, що вони (генеральні сукупності) розподілені за нормальними законами з рівними дисперсіями.

Розв’язання. Для спрощення розрахунків інколи доцільно від кожної варіанти вибірок наведеної таблиці відняти одне і те ж число ,яке дорівнює загальному середньому При цьому всі розрахунки ефектів і з допомогою формул (4.7) і (4.8) проводяться з заміною варіант на варіанти .

Результати обчислень, застосування алгоритму знаходження величин а також застосування критерію дисперсійного аналізу можна оформити у вигляді таблиць.

Таблиця 4.5

Рівні фактора

Таблиця 4.6

Джерела мінливості	Суми квадратів	Ступенів вільності	Виправлені дисперсії

Оскільки , то нульова гіпотеза про рівність математичних сподівань не виконується і рівень фактора — істотний.

Зауважимо,що в табл..4.6 знайдено з таблиці додатка 6.

Поиск по сайту: