Порядок дій при перевірці статистичних гіпотез

Для перевірки правильності основної статистичної гіпотези необхідно:

· визначити гіпотезу альтернативну до ;

· вибрати статистичний критерій ;

· задати рівень значущості ;

· знайти за відповідною таблицею критичну область (критичну точку) для вибраного критерію.

До критичної області належать такі значення критерію , при яких гіпотеза відхиляється на користь альтернативної гіпотези .

3.7. Критерій узгодження Пірсона

Критерій узгодження Пірсона ефективно використовується для перевірки гіпотези про розподіл генеральної сукупності, тобто, про те, що розподіл випадкової величини має певний функціональний вираз.

Нехай вибірка, яка репрезентує генеральну сукупність , має дискретний статистичний розподіл

			…

або інтервальний статистичний розподіл

			…

об’єму .Нам підставі цих розподілів і за наперед заданим рівнем значущості треба перевірити гіпотезу:

· закон розподілу генеральної сукупності описується функцією розподілу або густиною розподілу якщо альтернативною є гіпотеза:

· закон розподілу генеральної сукупності не описується функцією розподілу або густиною розподілу

За критерієм Пірсона для перевірки гіпотези вводиться статистика :

, (3.1)

де:

· — число груп в статистичному розподілі вибірки;

· — частота -ї групи;

· = - теоретична частота;

· — ймовірність того, що значення ознаки генеральної сукупності , яка досліджується, набуває значення для дискретного статистичного розподілу вибірки (1.5) і належить до -го інтервалу для інтервального розподілу (1.7). обчислюється з допомогою гіпотетичної функції розподілу або густини розподілу .

В повних курсах математичної статистики доводиться, що статистика при прямує за розподілом до випадкової величини, яка розподілена за законом з ступенями вільності, де - число інтервалів статистичного розподілу вибірки, а - число параметрів, що входить до гіпотетичного розподілу або і які оцінюються на підставі даних спостереження. Так, наприклад, коли перевіряється,чи ознака має розподіл Пуассона, то , бо розподіл Пуассона має єдиний невідомий параметр , який оцінюється за вибірковими даними (тобто шукається його точкова оцінка). Якщо ж перевіряється гіпотеза про нормальний закон розподілу ознаки генеральної сукупності, то , бо нормальний закон розподілу має два невідомі параметри і , точкові оцінки для яких знаходяться за вибірковими даними.

Наступний крок –це знайти критичне значення за заданим рівнем значущості та числом ступенів вільності . Критичні значення розподілу задані таблицею додатка 5 при різних значення і .

Обчисливши значення

(3.2)

і знайшовши , приходимо до таких висновків:

· якщо , то гіпотезу приймаємо;

· якщо , то гіпотезу відхиляємо.

Критерій застосовується при дотриманні таких вимог:

· статистичні дані мають бути незалежними;

· обсяг вибірки повинен бути достатньо великим (не меншим ніж 50 одиниць), а частота кожного інтервалу — не меншою за 5. Якщо остання умова не виконується, то проводиться попереднє об’єднання нечисленних груп.

Отже, підсумовуючи все, що було сказане, опишемо схему перевірки статистичної гіпотези за критерієм Пірсона:

· записати вихідні статистичні дані;

· обчислити теоретичні частоти для варіант вибірки. Для обчислення ймовірностей використати формули: або , ;

· обчислити за формулою (3.2);

· знайти ступінь вільності за формулою ;

· знайти з таблиці критичну точку , яка відповідає заданому рівню значущості та ступені вільності ;

· порівняти та і зробити висновок:

якщо , то гіпотеза приймається;

якщо , то гіпотеза відхиляється.

Приклад 3.1. Нехай - середній урожай ріпаку з 1 га. За даними 100 спостережень отримали такий інтервальний розподіл частот:

Таблиця 1.1

За допомогою критерію Пірсона і для заданого рівня значущості перевірити гіпотезу випадкова величина, яка досліджується в задачі, має нормальний законрозподілу ймовірностей.

Розв’язання. Нормальний закон розподілу характеризується, як відомо , густиною розподілу

де і - параметри розподілу. Оскільки ці параметри – невідомі, то знайдемо їх точкові оцінки на підставі вибіркових даних. Отримаємо:

Заокругливши, покладемо Перевіримо гіпотезу про те, що випадкова величина має нормальний закон розподілу ймовірностей із густиною:

Для цього обчислимо спочатку статистичні ймовірності та теоретичні ймовірності , з якою випадкова величина потрапляє в інтервали .

Статистичні ймовірності обчислюємо за формулою:

(3.3)

Отримуємо:

Теоретичні ймовірності обчислюємо, використовуючи інтегральну теорему Лапласа (6):

(3.4)

За формулою (3.4) отримуємо:

Зауважимо, що для обчислення першої та останньої ймовірностей і у формулах (18) покладають відповідно і . Тоді

Обчислюємо за формулою:

(3.5)

Маємо

Результати обчислень доцільно подати у вигляді таблиці:

			-1

Для заданого рівня значущості і числа ступенів вільності із таблиці 5 додатка визначимо:

Оскільки , то гіпотеза випадковавеличина має нормальний розподіл – приймається.

Приклад 3.2. Аналіз декларацій 750 фізичних осіб про сукупний річний дохід подано в таблиці:

де — відсоток незаявленого сукупного доходу, — число осіб, яку не заявили сукупного доходу. Перевірити гіпотезу про те, що відсоток незаявленого сукупного доходу однієї особи під час оформлення нею декларації має розподіл Пуассона, якщо рівень значущості

Розв’язання. Нехай випадкова величина — середній відсоток незаявленого сукупного річного доходу однієї фізичної особи під час оформлення декларації. За умовою задачі, потрібно перевірити гіпотезу:

де - невідомий параметр.

Точковою оцінкою невідомого параметра , як відомо, наприклад з , є вибіркове середнє .Обрахуємо його.

Обчислимо теоретичні ймовірності за формулою Пуассона, покладаючи в ній

Дві останні варіанти випадкової величини в статистичному розподілі вибірки мають частоти менші ніж п’ять. Через те об’єднаємо їх з варіантою Зауважимо також, що остання теоретична ймовірність визначатиметься як доповнення до одиниці. Отже маємо:

Знайдемо теоретичні частоти

Обчислимо

З таблиці додатка 5 критичних точок розподілу для і числа ступенів вільності знаходимо критичну точку

Оскільки то сформульована гіпотеза про те, що описана в умові задачі випадкова величина розподілена за законом Пуассона за рівня значущості — приймається.

Як і в попередньому прикладі, всі необхідні для перевірки основної гіпотези викладки можна подати в наступній таблиці:

		0,549	411,75	12,25	0,36
		0,349	246,75	-13,75	0,77
		0,099	74,25	-6,25	0,53
3 і більше		0,023	17,25	4,75	1,31
Сума				-

Поиск по сайту: