Точкові оцінки математичного сподівання, дисперсії та середнього квадратичного відхилення

Нехай — вибірка, яка отримана в результаті незалежних спостережень над випадковою величиною

— деякою ознакою генеральної сукупності, яка має математичне сподівання .

За точкову оцінку математичного сподівання беруть вибіркове середнє:

(2.1)

для незгрупованої вибірки і

(2.2)

для статистичного розподілу вибірки (5).

Можна показати, що оцінка є незміщеною, змістовною за умови, що випадкова величина має скінчену дисперсію. Якщо ж випадкова величина розподілена за нормальним законом з параметрами ,то оцінка є й ефективною.

За точкову оцінку дисперсії беруть вибіркову дисперсію:

(2.3)

у випадку незгрупованої вибірки або

(2.4)

для статистичного розподілу вибірки (5), які є зміщеними оцінками для параметра .

За точкову оцінку дисперсії беруть також виправлені вибіркові дисперсії:

і (2.5)

(2.6)

відповідно, які є незміщеними оцінками параметра .

Можна показати, що оцінки і є змістовними, проте не є ефективними.

Зауважимо, що і пов’язані співвідношенням:

(2.7)

У випадку, коли випадкова величина розподілена за нормальним законом і математичне сподівання - відоме, то незміщеною, грунтовною та ефективною оцінкою дисперсії є одна з наступних оцінок:

.

Оскільки середнє квадратичне відхилення дорівнює , то за оцінку параметра можна вибрати один із варіантів вибіркового середнього квадратичного відхилення:

, (2.8)

де — одна з оцінок (2.3)-(2.6).

Слід зауважити, що всі оцінки для ,які обчислюються за формулою (2.7), не є незміщеними, ефективними, а є лише змістовними.

Приклад 2.1. Статистичні дослідження рівня денного доходу працюючого офіцера-пожежника дали такі результати:

-дохід у гр.
-число офіцер.

Обчислити точкові оцінки чисельних характеристик , де — рівень доходу одного працюючого офіцера.

Розв’язання. За точкову оцінку математичного сподівання беремо вибіркове середнє і обчислюємо її за формулою (2.1):

Отже середній дохід працівника протягом дня становить гривні.

Точкову оцінку дисперсії обчислимо у двох варіантах:

зміщену точкову оцінку обчислимо за формулою :

незміщена оцінка ( виправлена дисперсія) обчислюється за формулою (2.7):

Як видно з попередніх обчислень, відхилення зміщеної оцінки від незміщеної становить і є порівняно мале, бо обсяг вибірки є досить великим.

Для середнього квадратичного відхилення отримуємо такі оцінки:

Приклад 2.2. Статистичні дослідження зростання продуктивності праці підприємств регіону в даному році у відсотках до відповідного періоду попереднього року виражаються інтервальним розподілом вибірки:

					120-130

Обчислити оцінки для де - зростання продуктивності праці одного підприємства регіону у відсотках до відповідного періоду попереднього року.

Розв’язання. Точкову оцінку математичного сподівання обчислимо за формулою (2.1) з врахуванням того, що

Отже середнє зростання продуктивності праці одного підприємства в даному році у відсотках до відповідного періоду попереднього року становить 106 %.

Зміщену точкову оцінку дисперсії обчислимо за формулою:

з таким же вибором , як при знаходженні точкової оцінки . Маємо:

За формулою (2.7) обчислимо незміщену точкову оцінку дисперсії:

Для середнього квадратичного відхилення маємо наступні оцінки:

Поиск по сайту: