Перевірка гіпотези про значення математичного сподівання за відомої дисперсії

Нехай генеральна сукупність розподілена за нормальним законом з невідомим математичним сподіванням , але відомою дисперсією

Варіант І. На основі вибірки потрібно перевірити нульову гіпотезу про рівність математичного сподівання певному числу При цьому передбачаються відомими такі величини:

· вибірку обсягу

· середнє квадратичне відхилення

· гіпотетичне значення математичного сподівання

· рівень значущості

Критерій перевірки цієї гіпотези

має нормальний розподіл з параметрами

Перевірку гіпотези за альтернативної гіпотези здійснюємо за таким правилом:

1) обчислюємо емпіричне значення критерію за формулою:

(3.6)

2) знаходимо за таблицею значень функції Лапласа критичне значення з рівняння:

(3.7)

3) робимо висновок про висунуту гіпотезу:

· якщо то гіпотезу приймаємо;

· якщо то гіпотезу відхиляємо на користь альтернативної гіпотези

Перевірку гіпотези за конкуруючої або проводимо за попередньою схемою з такими змінами:

1) замість рівняння (3.7) для знаходження критичного значення використовуємо рівняння:

2) робимо висновки відносно висунутої гіпотези

· якщо то гіпотезу приймаємо;якщо то гіпотезу відхиляємо на користь альтернативної гіпотези

· якщо то гіпотезу приймаємо; якщо то гіпотезу відхиляємо на користь альтернативної гіпотези

Приклад 3.3. Нехай генеральна сукупність розподілена за нормальним законом з відомим середнім квадратичним відхиленням . З цієї генеральної сукупності одержано вибірку обсягу і за нею знайдено вибіркове середнє В задачі потрібно для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу за конкуруючої гіпотези:

·

·

Розв’язання. Обчислимо емпіричне значення критерію за формулою (3.6):

Розглянемо наведені в умові задачі два випадки:

· для альтернативної гіпотези знаходимо за формулою (3.7) з таблиці додатка 2:

Отже =1,96. Оскільки то гіпотезу приймаємо;

· для альтернативної гіпотези знаходимо за формулою (22) з таблиці додатка 2

Отже =1б65. Оскільки то гіпотезу відхиляємо на користь альтернативної гіпотези

Варіант ІІ. На основі вибірки потрібно перевірити нульову гіпотезу за умови, що генеральна сукупність розподілена за нормальним законом з невідомими математичним сподіванням і дисперсією

При цьому припускаємо, що відомими є лише наступні величини:

· дані вибірки обсягу

· гіпотетичне значення математичного сподівання

· рівень значущості

Критерієм перевірки гіпотези в цьому випадку використаємо розподіл Стьюдента з числом ступенів вільності.:

(3.8)

де — вибіркове середнє, а — виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення.

Перевірку гіпотези за конкуруючої гіпотези здійснюємо за таким правилом :

1) обчислюємо емпіричне значення критерію за формулою:

(3.9)

2) з таблиці критичних точок розподілу Стьюдента(див. додаток) за заданим рівнем значущості і числом ступенів вільності знаходимо критичну точку

3) робимо висновок про висунуту гіпотезу:

· якщо то гіпотезу приймаємо;

· якщо то гіпотезу відхиляємо на користь альтернативної гіпотези

Перевірку гіпотези за конкуруючої або проводимо за попередньою схемою з такими змінами:

1) з таблиці критичних точок розподілу Стьюдента за даним рівнем значущості і число ступенів вільності знаходимо критичну точку

2) робимо висновки відносно висунутої гіпотези

· якщо то гіпотезу приймаємо;якщо то гіпотезу відхиляємо на користь альтернативної гіпотези

· якщо то гіпотезу приймаємо; якщо то гіпотезу відхиляємо на користь альтернативної гіпотези

Приклад 3.4. Для вибірки обсягу значень випадкової величини ,розподіленої за нормальним законом знайдено вибіркове середнє та виправлене середнє квадратичне відхилення В задачі потрібно для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу за наявності конкуруючої гіпотези:

·

·

Розв’язання. Обчислимо емпіричне значення критерію за формулою (3.9):

Розглянемо наведені в умові задачі два випадки:

· для альтернативної гіпотези за таблицею додатка 2 для числа ступенів вільності і рівня значущості знаходимо Оскільки то гіпотезу приймаємо;

· для альтернативної гіпотези за таблицею додатка 2 для числа ступенів вільності і рівня значущості знаходимо Оскільки то гіпотезу відхиляємо на користь гіпотези

Поиск по сайту: