Основні поняття математичної статистики

Львівський державний університет

Безпеки життєдіяльності

Статистичний аналіз

Тацій Р.М., Стасюк М.Ф.

Статистичний аналіз

Теоретичні відомості та приклади розв’язування задач

Для курсантів, студентів та слухачів заочного відділення

Рецензент: Чуйко Г.І.- канд. фіз.-мат. наук, доцент кафедри математичного і функціонального аналізу Львівського національного університету ім. І. Франка.

Затверджено на засіданні кафедри фундаментальних дисциплін Львівського державного університету безпеки життєдіяльності. Протокол № ___ від «___» ________________ 2010 року.

Ó 2010, Тацій Р.М., Стасюк М.Ф.

Основні поняття математичної статистики

Математичною статистикою називається наука, яка займається розробкою методів відбору, опису та аналізу статистичних даних з метою вивчення закономірностей масових випадкових явищ.

Вихідними поняттями математичної статистики є поняття генеральної сукупності та вибірки.

Нехай потрібно дослідити яку-небудь ознаку, характерну для великої групи однотипних об’єктів.

Вибіркою називається сукупність випадково взятих об’єктів при дослідженні деякої ознаки.

Генеральною сукупністю називається сукупність об’єктів, з яких зроблено вибірку.

Вибірковий метод дослідження випадкових явищ полягає в тому, що з генеральної сукупності береться вибірка відносно невеликого обсягу, обчислюються характеристики цієї вибірки, які приймаються за наближені значення відповідних характеристик генеральної сукупності.

Нехай з генеральної сукупності взята вибірка, яка набула разів значення , разів значення разів значення .

Тоді значення називаються варіантами вибірки, а значення - частотами цих варіант.

Варіанти, що записані в зростаючому порядку, називають варіаційним рядом.

Сума всіх частот

(1.1)

називається об’ємом вибірки.

Відношення

(1.2)

називається відносною частотою варіанти .Очевидно, що

(1.3)

Розмахом вибірки r називають різницю між найбільшим та найменшим її значеннями:

(1.4)

Дискретним статистичним розподілом вибірки називається перелік варіант та відповідних їм частот

			…
			…

, (1.5)

або відносних частот, який подається у вигляді таблиць:

			…
			…

(1.6)

де а визначені формулами (1.3).

Полігоном частот (відносних частот) статистичного розподілу (1.5) ((1.6)) називають ламану, відрізки якої з’єднують точки .

Інколи (коли ознака генеральної сукупності має неперервний розподіл, або, коли ознака має дискретний розподіл і обсяг вибірки – великий) статистичний матеріал, який отримуємо при вивченні випадкової ознаки генеральної сукупності доцільно подати у вигляді інтервального статистичного розподілу. Для цього потрібно весь інтервал зміни варіант поділити на скінчену кількість інтервалів без спільних точок та підрахувати кількість тих значень варіант що потрапили в заданий інтервал (або кількість їх відносних частот ). Інтервальний статистичний розподіл подається у вигляді таблиць:

			…
			…

(1.7)

або

			…
			…

(1.8)

Частинні інтервали можуть мати як різні, так і однакові довжини.

Гістограмою частот (відносних частот) інтервального розподілу ((1.7) ((1.8)) називається східчаста фігура, яка складається з прямокутників, основами яких є частинні інтервали а висоти дорівнюють

.

Зауважимо, що площа кожного з прямокутників дорівнює для інтервального розподілу (1.7) і для розподілу (1.8). Площа гістограми частот дорівнює об’єму вибірки , а площа гістограми відносних частот дорівнює одиниці.

Емпіричною функцією розподілу вибірки (1.5) називається функція

,

(1.9)

де - кількість варіант вибірки, які менші ніж - об’єм вибірки.

Для дискретного статистичного розподілу (1.5) чи (1.6) емпірична функція може бути задана конструктивно, а саме:

(1.10)

Емпірична функція , як і теоретична функція розподілу, має наступні властивості:

1.

2. – неспадна;

3. =0, якщо і =1, якщо , де — найменша варіанта, — найбільша.

Вибірковим середнім статистичного розподілу (1.5) називається середнє арифметичне варіант з урахуванням їх частот:

(1.11)

Вибірковою дисперсією статистичного розподілу (1.5) називається середнє значення квадратів відхилень його членів від середнього значення

(1.12)

Для обчислення вибіркової дисперсії зручніше використовувати наступну формулу:

(1.13)

Вибіркове середнє квадратичне відхилення визначається рівністю:

. (1.14)

Вибірковим центральним емпіричним моментом -го порядку величина, яка визначається рівністю:

(1.15)

Зокрема

Для оцінки відхилення статистичного розподілу вибірки від нормального розподілу використовують такі чисельні характеристики, як асиметрію і ексцес.

Вибірковою асиметрією називають число, яке обчислюється за формулою:

(1.16)

де вибірковий центральний момент 3-го порядку, середнє квадратичне відхилення статистичного розподілу вибірки (1.5) чи (1.6).

Вибірковим ексцесом статистичного розподілу вибірки(1.5) чи (1.6) називається число, яке обчислюється за формулою:

(1.17)

де вибірковий центральний емпіричний момент 4-го порядку а середнє квадратичне відхилення статистичного розподілу вибірки (1.5) чи (1.6).

Якщо випадкова величина , що описує деяку ознаку генеральної сукупності, розподілена за нормальним законом, то її асиметрія та ексцес дорівнюють нулю. Тому,чим більше асиметрія і ексцес статистичного розподілу вибірки віддалені від нуля, тим менше підстав сподіватися, що вибірка, з якої утворено варіаційний ряд, утворена з генеральної сукупності, ознака якої розподілена за нормальним законом.

Зауважимо, що для знаходження чисельних характеристик інтервального розподілу вибірки (1.7) чи (1.8) його слід замінити на дискретний. Для цього досить частинні проміжки замінити числами — серединами цих проміжків, тобто числами , а відповідні їм значення частот чи відносних частот залишити без змін.

Приклад 1. Для вивчення прибутків регіону утворено вибірку, яка характеризується такими даними: 8, 7, 6, 9, 10, 9, 11, 8, 9, 10, 8, 9, 6, 9, 8, 10, 12, 7, 10, 7. Виконати наступні завдання:

1. Записати дискретний статистичний розподіл вибірки, побудувати полігон частот і відносних частот та емпіричну функцію розподілу;

2. Обчислити чисельні характеристики вибірки: вибіркове середнє, вибіркову дисперсію, середнє квадратичне відхилення, розмах вибірки;

3. Записати інтервальний статистичний розподіл вибірки частот та відносних частот, поділивши проміжок на 4 рівні частини, і побудувати гістограми частот та відносних частот.

Розв’язання. В цьому прикладі генеральна сукупність — це випадкова величина , яка описує відсоткове відношення прибутку до обсягу виробництва одного підприємства. Обсяг вибірки

1. Записуємо варіаційний ряд варіант та відповідний ряд частот варіант і записуємо дискретний статистичний розподіл вибірки у формі таблиці:

Будуємо полігон частот, як ламану, відрізки якої з’єднують точки і полігон відносних частот — ламану, відрізки якої з’єднують точки на координатній площині.

Емпірична функція розподілу має такий вигляд:

Зображаємо емпіричну функцію графічно:

2. Обчислимо чисельні характеристики вибірки:

а) вибіркове середнє обчислюємо за формулою (1.11):

б) вибіркову дисперсію обчислюємо за формулою (1.12):

або за формулою (1.13):

в) вибіркове середнє квадратичне відхилення обчислюємо за формулою (1.14):

г) розмах вибірки дорівнює:

3. Знаходимо інтервальний статистичний розподіл, поділивши проміжок на 4 рівні частини довжиною 1,5 і отримуємо інтервальну таблицю частот та відносних частот:

Гістограмою відносних частот є східчаста фігура, яка складається з прямокутників з основами і висотами:

Поиск по сайту: