 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
ДУ с разделяющимися переем-ми
|
Читайте также: |
| N(x)R(y)dx+M(x)K(y)dy=0 (1) |
| Это ур-ие наз. Ур-ем с разделяющимися переменными. Метод его решения: разделив (1) на произведение M(x)K(y) |
| получим |
| N(x)/M(x)*dx+K(y)/R(y)*dy=0 (2) |
| Уравнение (2) наз. Ур-ем с разделенными переменными. Операция деления уравнения (1) на произведение М(х)R(y) |
| Наз. разделением переменных. Интегрируя (2), получим общий интеграл |
| ∫(N(x)/M(x)*dx)+ ∫(K(y)/R(y)*dy)=0 исходного уравнения. При делении (1) на произведение М(х)R(y), можно потерять некоторые решения, которые получаются из уравнения |
| М(х)R(y)=0 |
| Определяя из этого уравнения решения y=ϕ(x), следует проверить, является ли оно решением уравнения (1). Если не является, его следует отбросить, а если является, то проверить, входит ли оно в общий интеграл. |
| Если входит, то оно есть частное решение, а если не входит, то это решение называется особым. |
| Пример. Решить уравнение y(x+1)dx+(y-1)xdy=0. |
| Решение. Разделим уравнение на произведение xy, получим: |
| (x+1)/x*dx+(y+1)/y*dy=0; |
| dx+(dx/x)+dy+ (dy/y)=0 |
| Интегрируя получим общий интеграл |
| x+ln|x|+y+ln|y|=c; |
| ln|xy|+x+y=c. |
| В этом уравнении М(х)R(y) имеет вид xy=0. Его решения x=0, y=0 |
| является решениями исходного уравнения, но не входит в общий интеграл. |
| Следовательно, решения x=0, y=0 является особыми. |
ДУ полных диф-лов
Рассмотрим диф. уравнение вида:  (1). Если левая часть этого уравнения явл. полным дифференциалом некоторые ф-ции 2-х переменных U(x,y), т е M(x,y)dx+N(x,y)=du (2), то это уравнение называется уравнением в полных диф. Тогда ур-ние (1) принимает вид du(x,y)=0. Общим интегралом этого ур-ния будет равенство U(x,y)=C=const. Втесним условие, при кот ур-ние (1) явл. ур-нием в полных диф. Выражение для полного диф. ф-ции 2-х переменных имеем вид  (3). Сравнивая (2) и (3), имеем:  ,  . Дифференцируем первое из этих равенств по у, а второе – по х, имеем:  ,  отсюда, предполагая непрерывность вторых произвольных, получаем  (4) – условие, когда данное уравнение явл. уравнением полных диф.
|
60.1.ДУ вида dy/dx=f(ax+by+c)
Поиск по сайту: