АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
|
Вычисление опр-ных интегралов с пом.рядов
Для вычисления определенных интегралов
Подинтегральную ф-цию разлагают в ряд Маклорена и в области равномерной сходимости возможно почленное интегрирование
35.1.Интеграл вида ∫R(sin²x¸cos²x)dx
1. Интегралы вида , где рациональная функция от u и v.
| Интегралы указанного вида сводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной t с помощью
| подстановки , которую называют универсальной тригонометрической подстановкой. При этом используются формулы тригонометрии .
| Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким вычислениям. Поэтому чаще применяются другие подстановки.
| 2. Подынтегральная функция удовлетворяет условию
| (1)
| или условию
| . (2)
| Тогда можно использовать подстановку , или , соответственно.
| 3. Подынтегральная функция удовлетворяет условию . Это условие выполняется в частности для функций, содержащих только четные степени и В этом случае часто применяют замену переменной , где или , где .При этом, так как или ,то . Функции и выражаются через t с помощью тригонометрических формул и .
| 35.2.Разложение в ряд ф-ции y=arcsinx и y=lg(1+x)
для всех
1) ;
;
;
при X=1 ряд тоже сходится
36.1.Интеграл ∫sinmxcosnxdx
4. Вычисление интегралов вида , где m и n? целые числа.
| В этом случае полезно пользоваться следующими правилами:
| А) если m - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или, (что то же самое) делаем замену переменной . При этом число n может быть рациональной дробью. Аналогично, если n - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или применяем подстановку . Сравни с 1.
| Б) если оба показателя m и n - четные положительные числа, то подынтегральную функцию преобразуют с помощью формул понижения степени: , и
| В) если число m+n является четным отрицательным числом, то можно сделать замену переменной или
| Г) если степени m и n отрицательны, то часто бывает полезным уменьшить степени с помощью основного тригонометрического тождества.
| Примечание. В общем случае интегралы вида , где m и n - целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путем интегрирования по частям.
|
Биномиальный ряд
степенной ряд вида
Биномиальный ряд, бесконечный ряд, являющийся обобщением формулы Ньютона бинома (1 + х) n на случай дробных и отрицательных показателей n:
Биномиальный ряд сходится: при —1 < x <1, если n < —1; при —1< x £ 1, если —1 < n < 0; при —1 £ x £ 1, если n > 0. 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | Поиск по сайту:
|