Практическое занятие 3

Существует несколько подходов при моделировании сезонных или циклических колебаний:

- расчет значений сезонной компоненты и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда;

- применение сезонных фиктивных переменных;

- использование рядов Фурье и др.

1. Наиболее простым является первый метод. Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и Е для каждого уровня ряда.

Построение модели включает следующие шаги:

1) выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2) расчет значений сезонной компоненты S;

3) устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (T + Е) или в мультипликативной (T • Е) модели;

4) аналитическое выравнивание уровней (T + Е) или (Т • Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда;

5) расчет полученных по модели значений (T + Е) или (Т • Е);

6) расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

2. При моделировании временного ряда, содержащего сезонные колебания, могут использоваться фиктивные переменные. Количество фиктивных переменных в модели временного ряда должно быть на единицу меньше числа периодов (или моментов) времени внутри одного цикла колебаний. Так, при моделировании поквартальных данных модель должна включать четыре независимые переменные – фактор времени и три фиктивные переменные. Каждая фиктивная переменная отражает сезонную компоненту временного ряда для какого-либо одного периода. Она равна единице для данного периода и нулю для всех остальных.

Предположим, имеется ряд динамики, содержащий сезонные колебания периодичностью k. Тогда модель регрессии с фиктивными переменными будет иметь вид:

y_t = a₀ + a₁t + b₁x₁ + … + b_jx_j + … + b_k-1x_k-1 + Δ_t,

где

При моделировании сезонных колебаний на основе поквартальных данных за несколько лет число кварталов внутри одного года k = 4, общий вид модели следующий:

y_t = a₀ + a₁t + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + Δ_t,

где

Уравнение тренда для каждого квартала будет иметь следующий вид:

для I квартала: y_t = a₀ + a₁t + c₁ + Δt;

для II квартала: y_t = a₀ + a₁t + c₂ + Δt;

для III квартала: y_t = a₀ + a₁t + c₃ + Δt;

для IV квартала: y_t = a₀ + a₁t + Δt.

Таким образом, фиктивные переменные дифференцируют величину свободного члена уравнения регрессии для каждого квартала. Величина свободного члена составляет:

для I квартала: (a₀ + c₁);

для II квартала: (a₀ + c₂);

для III квартала: (a₀ + c₃);

для IV квартала: a₀.

Значение параметра а ₁ в этой модели характеризует среднее абсолютное изменение уровней ряда динамики под воздействием тенденции.

По своей сути данная модель временного ряда с фиктивными переменными является аддитивной, поскольку фактический уровень ряда – это сумма трендовой, сезонной и случайной компонент.

Недостатком модели временного ряда с фиктивными переменными для описания периодических колебаний является большое число переменных.

3. Функцию, заданную в каждой точке изучаемого интервала времени, можно представить бесконечным рядом синусоидальных и косинусоидальных функций. Нахождение конечной суммы уровней с использованием функций косинусов и синусов времени называется гармоническим анализом.

Другими словами, гармонический анализ представляет собой операцию для выражения заданной периодической функции в идее ряда Фурье по гармоникам разных периодов (французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1736 –1830). Каждый член ряда представляет собой слагаемое постоянной величины с функциями косинусов и синусов определенного периода.

В простейшем случае динамика явлений, обладающих периодичностью, может быть аппроксимирована синусоидой:

y = A × sin(α × t + β),

где t – время;

А – полуамплитуда колебания, т.е. наибольшее или наименьшее отклонение от оси t;

α – длина волны колебательного движения;

β – начальная фаза колебания.

Аппроксимация динамики экономических явлений с помощью ряда Фурье состоит в выборе таких гармонических колебаний, наложение которых друг на друга отразит периодические колебания фактических уровней динамического ряда.

С помощью ряда Фурье можно представить динамику явлений в виде некоторой функции времени, в которой слагаемые расположены по убыванию периодов:

.

В уравнении Фурье величина k определяет гармонику ряда и может быть взята целым числом (обычно от 1 до 4).

При решении уравнения параметры определяются на основе положений метода наименьших квадратов. Определяя для функции частные производные и приравнивая их к нулю, получают систему нормальных уравнений, параметры которых вычисляются по формулам:

, , .

Последовательные значения t обычно определяются от 0 с увеличением (приростом), равным 2π/n, где n – число уровней ряда динамики.

При анализе ряда внутригодовой динамики по месяцам значение n принимается равным 12. Представляя месячные периоды как части окружности

ряд внутригодовой динамики можно записать в виде:

Периоды t_i… 0, π /6, π /3, π /2, 2 π /3, 5 π /6, π, 7 π /6, 4 π /3, 3 π /2, 5 π /3, 11 π /6.

Уровни y_i… у ₁, у ₂, у ₃, у ₄, у ₅, у ₆, у ₇, у ₈, у ₉, у ₁₀, у ₁₁, у ₁₂,

Для определения в каждом конкретном случае t находят значения синусов и косинусов разных гармоник, которые для удобства расчетов представлены в таблице 2.

Полагая гармоники k соответственно равными 1, 2, 3, …, m находят все значения cos kt и sin kt. Тогда первая гармоника ряда Фурье имеет вид:

y_t = a₀ + a₁cost + b₁sint,

где , , .

Ряд Фурье с двумя гармониками:

y_t = a₀ + a₁cost + b₁sint + a₂cos2t + b₂sin2t,

где , .

Таблица 2 – Коэффициент гармонического анализа месячных наблюдений для расчета параметров а_k и b_k

Эффективно вычислять ряды Фурье можно, когда порядок гармоник является делителем числа 2N, при этом некоторые из возможных значений тригонометрических функций не требуются. Поэтому на практике часто используются значения 2N, равные 12, 24 и 60.

Особый случай, когда число точек равно 12 (N = 6), называется методом двенадцати ординат и представляет интерес, так как часто встречается и легко выполняется вручную.

Известно:

, .

Разобьем каждую сумму по x на две: от 0 до 6 и от 7 до 11, положив во второй части х = 12 – х ', получим:

,

.

Запишем:

В результате имеем:

, .

Опять разобьем отрезок на две части: от 0 до 3 и от 4 до 6, положив во второй части x = 6 – х '.

Тогда получим:

,

.

Теперь можно записать:

Результат, записанный полностью, выглядит так:

При решении ряда Фурье методом двенадцати ординат делают меньше 60 арифметических операций, большинство из которых простые сложения.

К методам сглаживания временного ряда можно отнести:

- метод скользящих средних;

- метод взвешенных средних;

- метод экспоненциального сглаживания.

Метод скользящих средних оказывается полезным, если можно считать, что уровни ряда будут мало изменятся во времени.

Прежде чем строить скользящие средние, необходимо выбрать количествово периодов скользящей средней.

Пусть скользящая средняя строится из K периодов.

Пусть ŷ_t0 – скользящая средняя в период t₀, тогда

,

где ∑ y_t – сумма скользящих средних за предыдущие К периодов.

После каждого периода уровень ряда в последний период прибавляется к сумме уровней ряда за предшествующие периоды, а более ранних периодов в явном виде уже не учитывается.

Такая процедура позволяет сглаживать кратковременные особенности во временных рядах.

Метод взвешенных скользящих. Иногда бывает важно придать более высокую значимость. В этом случае можно использовать метод взвешенной скользящей средней. Предварительно выбирается количество периодов, за которые будут использоваться уровни ряда.

Затем, каждому из выбранных периодов приписывается определенный вес. Выбор весов обычно субъективен. Приданием последнему периоду более высокого веса можно добиться того, что прогноз будет немедленно реагировать на необычные изменения уровня ряда, т.е. будет восприимчив к изменениям. С другой стороны, если придать последнему периоду чрезмерно большой вес, то все предшествующие периоды в построении прогноза практически не будут участвовать.

Пусть строится взвешенная скользящая средняя за К периодов, тогда:

,

где t – номер периода;

w_t – вес;

ŷ_t0 – взвешенная скользящая средняя в период t₀.

Суммирование ведется по периодам, предшествующим периоду t₀ и включает в себя К слагаемых.

Оба рассмотренных метода простой и взвешенной скользящих средних позволяет сгладить неожиданные изменения данных и получить стабильные оценки. Однако, использование методов скользящих средних связано с тремя проблемами:

- увеличение числа рассматриваемых периодов усреднения обеспечивает лучшее сглаживание, но делает метод менее восприимчивым к реальным изменениям данных;

- скользящие средние не очень хорошо отражают тренд, если он существует, т.к. это средние, то они всегда лежат далеко от последнего фактического значения и не может отражать отклонения в сторону увеличения или снижения данных;

- методы скользящих средних требуют длительного хранения последних данных.

Метод экспоненциального сглаживания. Данный метод является разновидностью методов скользящих средних, но при этом требует только краткосрочного хранения последних данных. Формула прогноза имеет вид:

ŷ_t= ŷ_t-1 + α(y_t-1 – ŷ_t-1),

где α – константа сглаживания (0 ≤ α ≤ 1).

Константа α может меняться с целью увеличения роста последних данных, если α → 1, или с целью увеличения веса предыдущих данных, если α → 0. В зависимости от выбранного значения α можно получить более точный или менее точный прогноз.

Если нет никаких априорных предпосылок по выбору того или иного метода сглаживания, то определить наилучший среди них можно, например, с помощью средней ошибки аппроксимации, суммирование при расчете ошибок ведется по тем периодам, для которых известны их фактические и прогнозные значения.

Поиск по сайту: