|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравненийПусть дано n- мерноелинейное пространство L и пусть в нём зафиксирован базис е = (е 1, е2, …, еn). Пусть М – линейное подпространство в L. Определение 30. Будем говорить, что система линейных уравнений задаёт подпространство М, если этой системе удовлетворяют координаты всех векторов из М и не удовлетворяют координаты никаких других векторов. Из свойств решений однородной системы линейных уравнений следует, что любая однородная линейная система уравнений ранга r с n переменными задаёт в любом n- мерном пространстве Ln (если в нём зафиксирован базис) (n–r)-мерное линейное подпространство. Справедливо и обратное утверждение. А именно, имеет место следующая теорема. Теорема 30. Если в линейном n- мерном пространстве Ln зафиксирован базис, то любое его к -мерное линейное подпространство можно задать системой линейных однородных уравнений с n неизвестными ранга (n – к). Доказательство. Пусть в Ln зафиксирован базис е = (е 1, е2, …, еn). Пусть Lк – линейное к -мерное подпространство в Ln. Выберем в Lк любой базис а = (а1, а2, …, ак). Пусть В матричной форме а = е × А, где А = . Так как а – базис, то ранг матрицы А равен к.
Если d – любой вектор, то d Î Lк Û d = с1 а1 + с2 а2 + … + ск ак, где с1, с2, …, ск независимо друг от друга пробегают все элементы поля Р. Их называют параметрами. В матричном виде d = а × с, где с – столбец параметров. Отсюда d = е× (А ×с). Если х – столбец координат вектора а в базисе е, то d = е×х. Отсюда, е×х = е× (А ×с) и х = А ×с. Распишем в координатном виде.
Следовательно, система векторов (а1, а2, …, ак) будет фундаментальной системой решений полученной системы уравнений и поэтому ранг этой системы уравнений равен (n – к). Пример. В пространстве L5 зафиксирован базис е = (е 1, е2, е3, е4, е5). Найти систему линейных однородных уравнений, задающих L3 = < а1, а2, а3 >, если а1 = (1, –2, 2, 0, 1), а2 = (0, 4, 7, 0, 1), а3 = (–2, 3, –1, 0, 0). Решение. Найдём ранг системы векторов (а1, а2, а3). Для этого достаточно найти ранг матрицы . Минор . Окаймляющий минор ¹ 0, следовательно, ранг матрицы равен 3, т.е. векторы а1, а2, а3 линейно независимы и подпространство L3 – трёхмерное. Согласно доказанной теоремы, оно может быть задано системой линейных однородных уравнений ранга 2. d Î L3 Û d = с1 а1 + с2 а2 + с3 а3. Отсюда d Î L3 Û х1 = с1 – 2с3, х2 = –2с1 + 4с2 + 3с3, х3 = 2с1 + 7с2 – с3 , х4 = 0, х5 = с1 + с2. Если из первого второго и пятого уравнений выразить с1, с2 и с3 и подставить их в третье и четвёртое уравнения, то получим следующую систему Замечание. Очевидно, система, задающая данное подпространство, определяется не единственным образом. К найденным уравнениям можно добавлять новые уравнения, являющиеся их линейными комбинациями.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.) |