Подпространства линейных пространств

Примеры линейных подпространств.

1. Пусть а₁, а₂, …, а_к – любая система векторов из L. Множество всех линейных комбинаций этих векторов (т.е. элементов вида a₁ а₁ + a₂ а₂ + … + a_к а_к) называется линейной оболочкой данной системы векторов и обозначается á а₁, а₂, …, а_к ñ, или L (а₁, а₂, …, а_к). Линейная оболочка любой конечной системы векторов из L является линейным подпространством в L.. Одним из базисов линейной оболочки является максимальная линейно независимая подсистема системы а₁, а₂, …, а_к. Следовательно, размерность линейной оболочки равна рангу этой системы.

2. Множество многочленов степени не выше к (к £ n) с коэффициентами из поля Р является линейным подпространством в пространстве многочленов степени не выше n.

3. Множество компланарных геометрических векторов является линейным подпространством в пространстве всех геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства.

4. Нулевой вектор является линейным подпространством в том линейном пространстве, которому он принадлежит.

5. Множество диагональных матриц порядка n является линейным подпространством во множестве квадратных матриц порядка n.

Пусть А и В – два линейных подпространства пространства L.

Определение 23. Суммой подпространств А и В называется множество всех возможных элементов вида а + в, где а Î А, в Î В. (Обозначение А + В)

Доказательство. Пусть а₁ + в₁ и а₂ + в₂ – любыедва элемента из А + В. Тогда (а₁ + в₁) + (а₂ + в₂) = (а₁ + а₂) + (в₁ + в₂) Î А + В, так как а₁ + а₂ Î А, в₁ + в₂ Î В. Кроме того l×(а + в) = l× а + l× в Î А + В, так как l× а Î А, l× в Î В. Следовательно, по теореме 14 сумма А + В является линейным подпространством в L.

Теорема 16. Пересечение линейных подпространств из L есть линейное подпространство из L.

Доказательство. Пусть С = А + В, где А и В линейные подпространства пространства L. Пусть D = А Ç В. Выберем базис d = (d₁, d₂, …, d _к) в подпространстве D и дополним его векторами е = (е_1, е₂, …, е_m)и f = (f₁, f₂ …, f_s) так, чтобы система (е_1, е₂, …, е_m, d₁, d₂, …, d _к) была базисом в подпространстве А, а система (d₁, d₂, …, d _к, f₁, f₂ …, f_s) была базисом в В. Покажем, что система (е_1, е₂, …, е_m, d₁, d₂, …, d _к, f₁, f₂ …, f_s) является базисом в подпространстве С. Если с Î С, то с = а + в. Так как а Î А, то а есть линейная комбинация векторов систем е и d. Так как в Î В, то в есть линейная комбинация векторов систем d и f. Но тогда с линейно выражается через векторы е, d и f. Остаётся показать, что система векторов (е_1, е₂, …, е_m , d₁, d₂, …, d _к, f₁, f₂ …, f_s) линейно независима. Для этого рассмотрим a₁ е₁ + a₂ е₂ + … + a_m е_m + b₁ d₁ + b₂ d₂ +... + b_к d_к + g₁ f₁ + g₂ f₂ + … + g_s f_s = 0. Вектор а = a₁ е₁ + a₂ е₂ + … + a_m е_m + b₁ d₁ + b₂ d₂ +... + b_к d_к лежит в подпространстве А. Но в то же время а = – g₁ f₁ – g₂ f₂ – … – g_s f_s. Следовательно, а Î В. Итак, а Î D. Если бы а не был нулевым вектором, то он не мог бы выражаться через векторы системы f. Следовательно, – g₁ f₁ – g₂ f₂ – … – g_s f_s = 0. Так как векторы системы f линейно независимы, то g₁= g₂= …= g_s = 0. Но тогда a₁ е₁ + a₂ е₂ + … + a_m е_m + b₁ d₁ + b₂ d₂ +... + b_к d_к = 0. Так как система векторов (е, d) линейно независима, то отсюда следует, что a₁ = a₂ = … = a_m = b₁ = b₂ = … = b_к = 0. Итак, система (е_1, е₂, …, е_m, d₁, d₂, …, d _к, f₁, f₂ …, f_s) является базисом в подпространстве С. Отсюда dim C = m + k + s = (m + k) + (k + s) – k = dim A + dim B – dim D.