Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром

Теорема 39. Линейное преобразование j линейного пространства L_n над полем Р имеет в базисе е = (е₁, е₂,..., е_n) диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все векторы базиса являются собственными векторами преобразования j.

Доказательство. Þ Пусть матрица А линейного преобразования j в базисе е – диагональная. Тогда j (е_к) = l_к для любого к = 1, 2, …, n. Но это значит, что все базисные векторы – собственные..

Ü Пусть все базисные векторы –собственные. Тогда j (е_к) = l_к. Следовательно, в к -ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к -го, стоят нули и а_кк = l_к. Отсюда и следует, что матрица преобразования – диагональная.

Следствие. Квадратная матрица n -го порядка подобна диагональной тогда и только тогда, когда для соответствующего этой матрице линейного преобразования существует базис из собственных векторов.

Определение 42. Говорят, что линейное преобразование j линейного пространства L_n над полем Р имеет простой спектр, если все его характеристические корни различны и принадлежат полю Р.

Теорема 40. Если линейное преобразование j линейного пространства L_n над полем Р имеет простой спектр, то в L_n существует такой базис, в котором это преобразование имеет диагональную матрицу.

Теорема 41. Пусть А – квадратная матрица с элементами из поля Р. Если все характеристические корни матрицы А различны и принадлежат полю Р, то эта матрица подобна диагональной.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К КОЛЛОКВИУМУ

1. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

2. Определители 2-го и 3-го порядка.

3. Перестановки: определение, свойства.

4. Подстановки: определение, свойства.

5. Определители n -го порядка: определение, свойства, в которых говорится о равенстве определителя нулю.

6. Определители n -го порядка: определение, свойства, в которых говорится, что определитель не изменится.

7. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя, в котором все элементы одной строки, кроме одного, равны нулю.

8. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Сумма произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки.

9. Теоремы Лапласа и Крамера.

10. Матрицы. Сложение матриц: определение, свойства.

11. Умножение матрицы на элемент поля Р: определение, свойства.

12. Умножение квадратных матриц. Определитель произведения двух матриц.

13. Обратная матрица.

14. Решение матричных уравнений.

15. Определение и примеры линейных пространств.

16. Арифметическое линейное пространство.

17. Линейно зависимые системы векторов: определение, свойства.

18. Линейно независимые системы векторов: определение, свойства.

19. Базис линейного пространства: определение, примеры, свойства, размерность линейного пространства.

20. Координаты вектора в данном базисе: определение, свойства.

21. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах.

22. Подпространства линейных пространств: определение, свойства, примеры. Линейная оболочка системы векторов.

23. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема о размерности суммы двух конечномерных линейных подпространств. Прямая сумма.

24. Изоморфизм линейных пространств.

Поиск по сайту: