Ранг матрицы. Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = произвольная матрица размерности m ´ n

Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = произвольная матрица размерности m ´ n. Каждый столбец матрицы можно рассматривать как m- мерныйвектор из m -мерного арифметического пространства А_m. Тогда система столбцов матрицы будет системой m- мерныхвекторов а₁ = (а₁₁, а₂₁, …, а_m1), а₂ = (а₁₂, а₂₂, …, а_m2), …, а_n = (а_1n, а_2n, …, а_mn).

Определение 26. Столбцевым рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – столбцов.

По аналогии со столбцами каждую строку матрицы А можно рассматривать как n -мерный вектор из n- мерного арифметического пространства А_n.

Определение 27. Строчным рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – строк.

Теорема 18. Столбцовый ранг матрицы равен наибольшему порядку среди отличных от нуля её миноров.

Доказательство. Если все элементы матрицы – нули поля Р, то все её столбцы – нулевые вектора. Ранг этой системы векторов равен нулю. В матрице А все миноры первого порядка, все миноры второго порядка и т.д. равны нулю. Можно считать, что максимальный порядок отличных от нуля миноров равен нулю.

Пусть в матрице А не все элементы равны нулю, тогда в матрице есть отличные от нуля миноры. Выберем минор наибольшего порядка среди всех отличных от нуля. При перестановке столбцов ранг системы векторов-столбцов не изменится. При перестановке строк матрицы изменится только порядок координат векторов (при этом у всех векторов одинаково). Следовательно, эта перестановка тоже не изменит ранга системы векторов-столбцов. Переставим, если нужно, строки и столбцы матрицы так, чтобы выбранный нами минор М располагался в левом верхнем углу матрицы. Пусть его порядок равен к. Рассмотрим систему векторов-столбцов матрицы А. Обозначим их а₁, …, а_к, а_к+1, …, а_n. Векторы а₁, …, а_к линейно независимы, иначе выбранный нами минор был бы равен нулю. Покажем, что любой другой вектор-столбец через них линейно выражается. Для этого окаймим выбранный минор любым

а1, …, ак, ак+1, …, аn А =	столбцом с номером к +1, к + 2, …, n и любой строкой. Если номер этой строки не больше к, то полученный определитель будет иметь две одинаковых строки, поэтому равен нулю. Если номер окаймляющей строки больше к, то это будет минор матрицы А порядка (к + 1), поэтому равен нулю по условию. Итак, определитель равнее нулю при любом s, равном к + 1, …, n и любом р, равном 1, 2, …, m.
= 0.	Разложим по последней строке, получим Так как М ¹ 0, то .

Если номер столбца s зафиксирован, то алгебраические дополнения А_р1, …, А_рк не меняются при изменении номера строки р. Следовательно, а_s = а₁ – … – а_к. Итак, любой вектор-столбец матрицы А линейно выражается через первые к её столбцов. Следовательно, столбцовый ранг матрицы равен к, т.е. наибольшему порядку отличных от нуля её миноров.

Следствие. Строчный ранг матрицы равен её столбцовому рангу.

Доказательство. Транспонируем матрицу А. При этом векторы-строки матрицы А станут векторами-столбцами транспонированной матрицы А^Т. П ри транспонировании матрицы транспонируются и все её миноры. Так как при транспонировании определитель не меняется, то максимальный порядок отличных от нуля миноров в матрицах А и А^Т один и тот же. По доказанной теореме столбцовые ранги этих матриц равны. Отсюда и следует утверждение следствия.

Так как столбцовый и строчный ранги матриц равны, то можно дать определение:

Определение 28. Рангом матрицы называется ранг системы её векторов-столбцов (или векторов-строк).

Из теоремы о ранге матрицы следует, что если мы найдём в матрице А минор М к- го порядка, отличный от нуля, то среди миноров (к + 1)-го порядка достаточно рассмотреть только те, которые получаются окаймлением минора М. Если они все равны нулю, то ранг матрицы равен к. В дальнейшем минор наибольшего порядка среди отличных от нуля будем называть базисным минором.

Пример. Найти ранг матрицы А = в зависимости от b.

Решение. Так как не все элементы матрицы равны нулю, то её ранг не меньше 1. Так как второй т третий столбцы одинаковы, то один из ни можно отбросить и находить ранг матрицы А₁ = . Из миноров второго порядка только один не содержит b, но этот минор равен 0. Рассмотрим минор М₁ = При b = 0 матрица А₁ имеет вид . В ней только один ненулевой столбец, следовательно, её ранг равен 1. Если , то М₁ ¹ 0, т.е. ранг матрицы не меньше 2. Минор М₁ можно окаймить третьей строкой и третьим столбцом или четвёртой строкой и третьим столбцом. Получим М₂ = . Так как , то М₂ ¹ 0. В матрице А₁ миноров 4-го порядка нет, поэтому rang A = rang A₁ = 3.

Итак, при b = 0 rang A, при b ¹ 0 rang A = 3.

Теорема 19. Элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга.

Доказательство следует из того, что при элементарных преобразованиях матрицы мы получаем эквивалентные системы её векторов-строк.

Поиск по сайту: