 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Линейным дифференциальным уравнением порядкаn называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных 
вида: 
, где p0, p1, …,pn – функции от х или постоянные величины, причем p0 ¹ 0.
Левую часть уравнения обозначим L(y): 
.
Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x) ¹ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p0, p1, p2, … pn – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.
Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.
Определитель порядка n составленный из функций yi и ее производных
,
то этот определитель называется определителем Вронского.
Система функций 
называется линейно зависимой, если существует такая линейная комбинация 
, при не равных нулю одновременно ki. Если же только при ki = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.
Теорема 1. Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.
Теорема 2. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.
Теорема 3. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.
Теорема 4. Если - фундаментальная система решений на интервале (a,b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений: 
, где Ci – постоянные коэффициенты.
Поиск по сайту: