АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

С постоянными коэффициентами

Читайте также:
  1. Алгоритм решения линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами
  2. Индексы с постоянными и переменными весами
  3. Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
  4. Интегрирование ЛОДУ п –го порядка с постоянными коэффициентами
  5. Коэффициентами
  6. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
  7. Линейные ДУ высших порядков с постоянными коэффициентами.
  8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
  9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
  10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными
  11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
  12. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)

Решением дифференциального уравнения вида является фундаментальная система решений , представляемая в виде общего решения .

Решения фундаментальной системы определяется по методу Эйлера, в котором частное решение уравнения ищется в виде , где k = const. Тогда то

При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения, а характеристическим уравнением.

Структура фундаментальной системы уравнения зависит от вида корней характеристического уравнения. Различают три случая:

1. Все корни характеристического уравнения различны:

1) вещественны - , тогда .

2) имеются комплексные - , тогда .

2. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные:

1) - вещественный корень кратности s,тогда

.

2) - комплексный корень кратности s, тогда

,

где Ci – постоянные коэффициенты.

В частности для линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка . Если и – корни характеристического уравнения , то общее решение записывается в одном из следующих трех видов (см. табл. 1): Таблица 1

Корни и Общее решение ЛОДУ
1) действительные и различные ()
2) действительные и равные ()
3) комплексные (а и b – действительные числа)

Пример. Найти общее решение уравнения .

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: ; ; . Так как и – действительные и различные числа, то общее решение записывается в виде: .

Пример. Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение имеет вид: , , – комплексно-сопряженные корни, , . Общее решение имеет вид , отсюда .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)