АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Коэффициентами

Читайте также:
  1. Алгоритм решения линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами
  2. Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
  3. Интегрирование ЛОДУ п –го порядка с постоянными коэффициентами
  4. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
  5. Линейные ДУ высших порядков с постоянными коэффициентами.
  6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
  7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
  8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
  9. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)
  10. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
  11. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

 

Система уравнений: ,

где х - независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Такая система имеет вид: .

Теорема ( Теорема Коши): Если в некоторой области функции … непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то для любой точки этой области существует единственное решение системы дифференциальных уравнений вида, определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям

Общим решением системы дифференциальных уравнений вида будет совокупность функций , , … , которые при подстановке в исходную систему обращают уравнения в верные тождества.

При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3).

Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если они записана в виде: .

Решение системы ищется с помощью метода Эйлера, путем подстановки: и , где .

Заменив и перенеся все элементы в одну сторону и сократив на ekx, получаем:

Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, то есть:

Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы:

Тогда общее решение данной системы запишется в виде:

В случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения действительные решения имеют вид: и . В этом случае сразу записывают , , и находят функции z1, z2, u1 и u2, выражая их через функции y1 и y2 и их производные.

Пример. Найти общее решение системы уравнений:

Составим характеристическое уравнение:

Решим систему уравнений:

Для k1:

Полагая (принимается любое значение), получаем:

Для k2:

Полагая (принимается любое значение), получаем:

Общее решение системы:

Этот пример может быть решен другим способом:

Продифференцируем первое уравнение: .

Подставим в это выражение производную у¢ =2x + 2y из второго уравнения:

Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:

;

Тогда

Обозначив , получаем решение системы: .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)