Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде: . При этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (P(x) и Q(x) – функции, непрерывные на некотором промежутке a < x < b).

Метод Бернулли. Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций , где u=u(x) и v=v(x) – неизвестные функции от х. Отсюда, .

Подставляя у и в исходное уравнение, получаем:

.

В качестве u берут частное решение уравнения: . Решая это дифференциальное уравнение, определяем u:

.

Для нахождения второй неизвестной функции v подставим полученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

.

Интегрируя, получаем функцию v: .

Подставляя полученные значения u и v в y=uv, получаем:

.

Окончательно получаем формулу: .

Это уравнение является решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.

Метод Лагранжа. Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.

Первый шаг: приравниваем правую часть дифференциального уравнения к нулю: .

Находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения: .

Второй шаг: находим решение неоднородного дифференциального уравнения. Для этого считаем постоянную С₁ некоторой функцией от х. Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:

.

Подставляем полученное равенство в исходное уравнение:

.

Упрощаем, преобразуем и получаем: .

Отсюда: .

Подставляя это значение в исходное уравнение: .

Пример. Решить уравнение .

Метод Бернулли. Полагаем и .

Тогда .

1) , , , .

2) , т.е. , .

Итак, .

Метод Лагранжа. Решаем уравнение .

Имеем . Заменяем с на с(х): .

Тогда .

Подставляем . Получаем .

Пример. Решить уравнение .

Учитывая, что , то от исходного уравнения переходим к линейному уравнению . Применим подстановку . Получаем . Находим .

Находим .

Получаем .

Поиск по сайту: