Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y¢: .

Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y¢.

Дифференцируя это уравнение, c учетом того, что , получаем:

Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:

Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (линейное) относительно функции и аргумента вида:

Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.

С учетом замены , уравнение принимает вид:

- это уравнение имеет два возможных решения: или

В первом случае , тогда .

Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений: . Исключая параметр р, получаем второе решение F(x,y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением. Поэтому будет являться особым интегралом.

Пример. Решите уравнение .

Это уравнение разрешено относительно х. Поэтому полагаем , тогда . Находим и так как , имеем .

. Получаем:

Пример. Решите уравнение .

Это уравнение Лагранжа. Поэтому полагаем , получаем: .

Находим и так как , имеем .

Если , то Если , то – это частное решение.

Поиск по сайту: