|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Тема 6. Роль измерений в создании системЭксперимент модель. Понятие эксперимента и измерения. Измерительные шкалы: шкалы наименований, порядковые шкалы, модифицированные порядковые шкалы, шкалы интервалов, шкалы разностей, шкалы отношений, циклические шкалы, абсолютные шкалы. Нечеткость и расплывчатость в описании ситуации. Основные понятия теории нечетких множеств. Понятие случайной неопределенности. Природа случайности. Вероятностное описание ситуации. Статистические измерения. Регистрация экспериментальных данных и ее связь с последующей их обработкой.
Рис. 6.1. Рассмотрим алгоритмы измерения, которые различным состояниям объекта ставят в соответствие разные обозначения, а неразличимым состояниям – одинаковые обозначения, что означает – состояния объекта и их обозначения удовлетворяют следующим аксиомам тождества: 1°. Либо А = В, либо А ¹ В. 2°. Если А = В, то В = А. 3°. Если А = В и В = С, то А = С.
4°. Если А > В, то В < А. 5°. Если А > В и В > С, то А > С.
4¢. Либо А £ В, либо А ³ В. 5¢. Если А ³ В и В ³ С, то А ³ С.
6°. Если А = Р и В > 0, то А + В > Р. 7°. А + В = В + А. 8°. Если А = Р и В = Q, то А + В = Р + Q. 9°. (А + В) + С = А + (В + С).
К числу шкал, единственных с точностью до линейных преобразований, относятся шкалы интервалов (у = ах + b, а > 0 и в произвольных) и шкала отношений (у = ах, а > 0 – преобразование растяжения). Рассмотрим шкалы, инвариантные сдвигу у = х + b. Повторно применяя сдвиг к у (z = у + b = х + 2b), затем к z и т.д. обнаруживаем, что в такой шкале значение не меняется при любом числе сдвигов: у = х + nb, n = 0, 1, 2, …. Постоянная b является характерным параметром шкалы и называется ее периодом. Полученная шкала называется шкала разностей (периодической, циклической) – частный случай интервальных шкал. В таких шкалах измеряется направление из одной точки (шкала компаса, роза ветров и т.д.), время суток (циферблат), фаза колебаний (в градусах или радианах). Таблица 6.1
Рис. 6.2. ПОНЯТИЕ РАСПЛЫВЧАТОСТИ В действительности встречаются (и гораздо чаще, чем кажется) случаи, когда тождество или различие двух состояний и/или наблюдений нельзя утверждать с полной уверенностью. Наиболее явно это видно на примере шкал, в которых классы обозначаются конструкциями естественного языка. "В комнату вошел высокий молодой человек" - класс, к которому принадлежит человек, назван (т.е. измерение состоялось), но какого он роста и сколько ему лет? "В руках он держал довольно тяжелый сверток" - какого веса была его ноша? Если разобраться, то почти каждое наше слово обозначает некоторое не вполне определенное множество. («Почти» - какой процент? "Наше" - чье именно? "Некоторое" — какое же? "Не вполне" - насколько? "Определенное" - кем и как" и т.д.) Это свойство естественного языка, природное и неотъемлемое, безусловно, полезное (иначе бы оно не закрепилось в процессе развития языка), но приводящее к затруднениям, когда сопровождающая его неопределенность мешает. Древние логики дискутировали вопрос о том, сколько песчинок должно быть собрано вместе, чтобы получилась куча песка; сегодня мы просто говорим, что слово "куча" - это лишь метка нечетко определенного множества. Спор о том, сколько песчинок в "куче", эквивалентен спору о том, в каком возрасте человек становится "старым" или сколько волосинок должно у него выпасть, чтобы он был "лысым". Эта неопределенность смысла языковых, конструкций является одной из основных трудностей автоматизации анализа и синтеза речи, автоматического (и не только автоматического) перевода с одного языка на другой. Например, одному английскому предложению, состоящему из пяти слов, можно дать пять разных (!) смысловых интерпретаций: TIME FLIES LIKE AN ARROW ВРЕМЯ ЛЕТИТ СТРЕЛОЙ ВРЕМЯ ЛЕТИТ В НАПРАВЛЕНИИ СТРЕЛЫ МУХАМ ВРЕМЕНИ НРАВИТСЯ СТРЕЛА* ИЗМЕРЯЙ СКОРОСТЬ МУХ ТАК ЖЕ, КАК СКОРОСТЬ СТРЕЛЫ** ИЗМЕРЯЙ СКОРОСТЬ МУХ, ПОХОЖИХ НА СТРЕЛУ Неизвестно, действительный ли это факт или научно-фольклорная история, основанная на потенциальной возможности, но в литературе по автоматизации перевода приводится рассказ о кольцевой работе программ, переводящих с одного языка на другой: фраза "плоть слаба, а дух силен" после нескольких переводов превратилась в "мясо тухлое, но водка крепкая". Все сказанное выше мотивирует введение понятия лингвистической переменной как переменной, значение которой расплывчато по своей природе, как метки размытого, расплывчатого множества. Хотя теория размытых множеств, построенная Л. Задэ, прекрасно иллюстрируется языковыми примерами и имеет интересные приложения в области искусственного интеллекта, размытость оказывается свойством не только естественного языка. Например, в математике с успехом применяются понятия "значительно больше" (символ >) и "приблизительно равно" (символ ~ или =), являющиеся типично расплывчатыми.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАСПЛЫВЧАТЫХ МНОЖЕСТВ Изложим основные понятия теории расплывчатых множеств. Расплывчатое множество А состоит из неопределенного числа элементов х: признаки, по которым элементы включаются в расплывчатое множество, не позволяют однозначно отделить все элементы, входящие в него, от элементов, ему не принадлежащих; по крайней мере некоторые элементы можно считать как" относящимися к множеству, так и не входящими в него. Важным является понятие функции принадлежности mA (х). Считается, что для каждого элемента х можно задать число mA(х),О < mA (х)< 1, выражающее степень принадлежности этого элемента к расплывчатому множеству А. Если mA(х) = 0, то элемент х определенно не принадлежит множеству А, если mA(х) = 1 - определенно входит в него. Величина mA(х), рассматриваемая как функция аргумента х, и называется функцией принадлежности. Если mA (х) принимает значения только либо 0, либо 1, то множество А является нерасплывчатым (например, множеству А чисел, не превосходящих 5, соответствует функция mA (х) = {1: х<=5; 0:х ³ 5}). Характерным признаком расплывчатости множества является наличие хотя бы одного элемента с функцией принадлежности, отличной от 0 и 1 (например, множество R+ положительных чисел становится размытым, если положить mR +(0) = 1/2, так как есть основания считать нуль "отчасти положительным, а в чем-то отрицательным" числом). Итак, расплывчатое множество А в X определяется как совокупность упорядоченных пар вида: А={x, mA (x)}, x Î X. Расплывчатость — это такое свойство явлений, при котором не выполняется отношение эквивалентности: явление одновременно может принадлежать данному классу и не принадлежать ему. Неопределенность такого типа описывается с помощью функции принадлежности; значение этой функции выражает степень уверенности, с которой мы относим данный объект к указанному классу. Сам класс в итоге становится не определяемым однозначно и называется расплывчатым множеством. Пустое расплывчатое множество 0 определяется как такое, для которого mÆ (х) = 0. Иногда удобно использовать понятие носителя S(A) расплывчатого множества А, который определяется как такое множество, для которого [xÎ S(A) Í X] «[mA (x) > 0]. Расплывчатое множество А называется номинальным тогда и только тогда, когда supхmA (х) = 1, противном случае - субнормальным. Непустое субнормальное множество можно нормализовать, разделив mA (х) на supхmA (х). В связи с возможностью субнормальности следует дополнить определение нерасплывчатого множества случаем, когда mA (х)= const < 1 для всех х Î S(A). Равенство двух расплывчатых множеств А и В определяется условием (A = B) «( mA (х) = mB (х)) " xÎ X. Включение расплывчатого множества А в множество В определяется следующим образом: (A Í B) «( mA (х) = mB (х)) " xÎ X. Например, множество очень больших чисел является подмножеством больших чисел. Расплывчатое множество А' называется дополнением к расплывчатому множеству А тогда и только тогда, когда mA’ (х) = 1 - mA (х). Например, множества "высокие люди" и "невысокие люди" могут быть как дополнительными друг к другу, если их функции принадлежности в сумме тождественно равны единице, так и не являться дополнительными при другом задании этих функций. Пересечение размытых множеств А и В определяется соотношением А Ç В «mAÇB (х) = min [ mA (х), mB (х)], х Î X. Объединением размытых множеств А и В называется расплывчатое множество A È В, удовлетворяющее условию A È В «mAÈB (х) = min [ mA (х), mB (х)], х Î X. В некоторых приложениях удобно определить такие составные множества, которые соответствуют конкретным арифметическим операциям над функциями принадлежности составляющих множеств. Так, алгебраическое произведение расплывчатых множеств А и В обозначается через АВ и определяется равенством mAB (х) = mA (х)* mB (х), х Î X. алгебраическая сумма А Å В соответствует равенству mA Å B (х) = mA (х) + mB (х)- mA (х)* mB (х), х Î X.
Говорят, что имеет место расплывчатое отношение R между элементами х и у множеств X и У, если множество пар (х, у), удовлетворяющих этому отношению xRy, образует расплывчатое множество в X*Y, т.е. можно задать mR (х, у) — функцию принадлежности (х, у) к R. Например, пусть отношение R есть х>у; mR (х, у) ={0: x £ y; [1 + (х - у)-2 ]-1: х > у}. Пусть С — расплывчатое множество в пространстве X* Y с функцией принадлежности mR (х, у). Множество С называется разложимым по X и У в том и только в том случае, если С допускает представление С = А Ç В, или, что то же самое, mR (х, у) = min[mA (х),mB (х)]. Мы привели основные (не все) понятия, с помощью которых строится теория размытых множеств и решаются соответствующие задачи. Цель данного параграфа - дать представление о том, как можно построить математическую модель наблюдений, не удовлетворяющих аксиомам тождества. Иными словами, каждая измерительная шкала может быть "размыта". Для размытия шкал наименований и порядка достаточно тех понятий, которые приведены выше; количественные шкалы требуют некоторых дополнительных определений. ' Самым "узким" местом теории (и практики) размытых множеств является задание функций принадлежности. Существует несколько подходов к определению функции mA (х): 1) эвристический подход, когда субъект сам определяет, как он понимает степень принадлежности (например, числа и к множеству "несколько"); функции, задаваемые разными людьми для одного множества, могут различаться, что отражает разницу в понимании расплывчатого термина; 2) статистический подход, при котором mA (х) определяется усреднением функций, задаваемых разными экспертами; 3) частичное задание mA (х) поясняющими примерами (например, для нескольких значений х) и последующее доопределение всей функции подходящим методом; 4) интервальное определение типа задания пессимистической и оптимистической границ для функции mA (х); 5) кратная расплывчатость, т.е. задание mA (х) как размытого множества с помощью функции принадлежности второго порядка mA2 (х) (mA (х)). Подведем итог. Расплывчатость является специфическим видом неопределенности. Ее главная особенность состоит в том, что в результате наблюдения конкретизируется лишь сам наблюдаемый объект, а неопределенность его принадлежности к расплывчатому множеству, известная заранее, сохраняется. Это описывается с помощью функции принадлежности. Другие особенности расплывчатыхситуаций моделируются аксиомами теории расплывчатых множеств.
ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ СИТУАЦИЙ. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ Говоря о наблюдениях над изучаемым объектом и о фиксации результатов этих наблюдений (измерений), а именно это является основной темой данной главы, еще раз напомним, что сама необходимость обращения к эксперименту вытекает из того, что нужно устранить некоторую неопределенность, свойственную нашим знаниям об объекте до проведения этого эксперимента. В некоторых случаях эксперимент устраняет неопределенность полностью (как при бросании монеты или контрольном замере уровня масла в двигателе); в других случаях неопределенность лишь уменьшается до некоторого предела, относительного (т.е. в принципе преодолимого) или абсолютного (неуменьшаемого). Ясно, что и организация эксперимента и обработка экспериментальных данных, определяющие степень уменьшения неопределенности, должны исходить из природы, существа, причины неопределенности.
ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Оказывается, что неопределенность бывает разного происхождения. Один из ее видов - неизвестность - рассматривается теорией познания и философией; такого типа неопределенность характеризует ситуацию, когда мы задаемся вопросом "есть ли жизнь на Марсе?" (посадка советской автоматической станции на эту планету уменьшила неопределенность, но не сняла ее совсем) или "существуют ли внеземные цивилизации?" (поиск возможных искусственных радиосигналов, пока, к сожалению, безуспешен). Другой вид неопределенности - расплывчатость - был обсужден в предыдущем параграфе; для нее характерно, что эксперимент в принципе не снимает ее полностью. Третий вид неопределенности - случайность - мы кратко рассмотрим сейчас; при этом будем исходить из того, что читателю знакомы элементы теории вероятностей.
Говоря о случайных явлениях, прежде всего обращают внимание на их непредсказуемость, противопоставляют случайность детерминированности, хаотичность — упорядоченности. Имеющее определенный смысл, такое противопоставление является односторонним, так как оставляет в тени тот факт, что под случайностью понимается вид неопределенности, подчиняющийся строгой закономерности, которая выражается распределением вероятностей. Зная распределение (например, плотность p(xf) вероятностей, можно ответить на любой вопрос о случайной величине: в каком интервале находятся ее возможные значения (определим носитель распределения X - множество элементов х, для которых р(х) > 0); около какого значения рассеиваются ее реализующие значения (найдем параметр положения распределения, например среднее, моду или медиану); насколько сильно разбросаны эти значения (найдем масштабный параметр - дисперсию или стандартное отклонение, средний модуль разности, энтропию); какова связь между разными реализациями (вычислим заданную меру зависимости) и т.д.
Выбор расплывчатой ситуации. Правила выбора в расплывчатой ситуации, естественно, являются различными в зависимости от того, что именно расплывчато в этой ситуации. Задача выбора решается просто и изящно, если критериальные функции отождествляются с функциями принадлежности. Однако на практике встречаются и другие задачи; например, расплывчатым может быть любой параметр, расплывчатым может быть любой параметр критериальной функции, которая сама не является функцией принадлежности. При таком изложении задачи выбора напрашивается идея о том, чтобы вообще функцию принадлежности i-му условию интерпретировать как i-й критерий качества и вернуться к многокритериальным задачам. Интересны исследования в этом направлении, сделанные Эстером. Он рассмотрел суперкритерий вида m Zp(x) = {S g i [mi(x)]p}1|p i=1 m где 0 < gi < 1, S gi = 1; т - число размытых условий; i=1 mi(x) - функция принадлежности i-му условию; р - параметр суперкритерия. Представление интересно не только наличием свойств, облегчающих математическое рассмотрение задачи (например, монотонность и непрерывность по всем компонентам), но из тем, что оно охватывает широкий класс частных суперкритериев. Так, при р ® ¥ получается оператор нахождения минималйй|| го элемента из заданной совокупности, при р = 0 — оператор умножения, при р = 1 — оператор сложения, при р ® +¥ — оператор нахождения максимального элемента. Итак, задача нахождения наилучшей альтернативы X* сводится к максимизации Zp(x): хg* = arg max Zp(x). (4) xÎX Очевидно, что при этом решение зависит от конкретного набора коэффициентов g = {gj}/ Обозначим через Е(р) множество {хg*}, соответствующее разным g при фиксированном р. Эстер обнаружил интересные свойства множеств Е(р): для всех -¥ <p1 £ p2 < ¥ справедливо включение Е(р2) Í E(p1) Í РМ, где РМ — паретовское множество.
Функции принадлежности вообще находить непросто, а при использовании изложенного подхода, кроме того, требуется, чтобы они еще имели и смысл критериальных фунций в задаче выбора. Это может оказаться и неудобным, и бессмысленным. С.А. Орловский предложил не изменять содержательного смысла критериев качества альтернатив и не отождествлять критериальные функции с принадлежностными, а отразить в модели расплывчатость шкал, в которых эти критерии фиксируются (если такая расплывчатость имеет место).
Предполагается, что критериальные функции qi(x) относятся к параметрическим семействам, т.е. qi(x) = Jj(x, q), и считается, что расплывчатость критериальных функций сводится к расплывчатости в описании параметров q: Q = {q, mQ (q) }. Теперь для каждой альтернативы х значение критерия Ji(x,q), принадлежит размытому множеству, функция mi (Ji(x)) принадлежности к которому зависит от х и от конкретного вида функций Ji(x,q), mQ (q). Носитель этого множества может быть как ограничен сверху величиной J°(x), так и не ограничен. Если естественного ограничения снизу нет, то его можно ввести искусственно, задав некоторый уровень a (0 <а < 1) для функции принадлежности и взяв в качестве jio(x) наименьший корень уравнения mi (Ji(x)) = а. В результате величины Jo1(x),..., Jom(x) можно рассматривать как новые критериальные функции, и мы возвращаемся к стандартной многокритериальной задаче, которую можно решать любым из стандартных методов (. Орловский, в частности, предлагает находить паретовское множество альтернатив.
Заканчивая обзор расплывчатых вариантов критериальных задач выбора, рассмотрим еще задачи, связанные с использованием расстояний между точками в пространстве альтернатив. При расплывчатом описании альтернатив предлагается "расстояние" определять через модули разностей функций принадлежности, например m D(xi, xj) = (1\m S |μ γ (xi) - μ γ(xj)|p)1/p γ =1 где μγ(x) — функция принадлежности по γ-му признаку к интересующему
НЕКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ РАСПЛЫВЧАТОГО ВЫБОРА Некоторые успехи имеются и в рассмотрении расплывчатых вариантов выбора, описываемого на языке бинарных отношений. Во-первых, сделано расплывчатое обобщение отношения предпочтения. Размытое отношение R слабого порядка определяется ка* удовлетворяющее размытым условиям связности и транзитивности: Xi ¹ Xj Þ mR (xi, xj)>0 или mR (xj, xi)>0 (связанность) mR (xj, xk) = ma[ { min[mR (xj, xi), mR (xj, xk)} (транзитивность ). mR (xj, xi)>0 Þ mR (xi, xj)>0 (асимметрия), то такое упорядочение называется сильным. Во-вторых, Л. Задэ показал, что любое расплывчатое отношение R допускает разложение по о в виде объединения не размыты: множеств Ra с функциями принадлежности mR (xi, xj) = { a при (xi, xj) Î Ra; 0 при (xi, xj) ÏRa где 0 < а < 1
Это, например, позволяет перейти от расплывчатого описания коллективного упорядочения альтернатив к нерасплывчатому множеству альтернатив, отобранных "со степенью согласия на уровне. 0 других классах задач выбора кратко можно сказать следующее Расплывчатой версии языка глобальных функций множеств пока не создано.
Начато исследование различий и аналогий между статистической и размытой неопределенностями. Некоторые особенности, возникающие при одновременном наличии обеих неопределенностей, рассмотрены. Не углубляясь в детали (так как для этого понадобилось бы использовать достаточно сложные построения, связанные с понятием случайных множеств), отметим, что в целом идеи теории расплывчатых множеств привлекают все больший интерес, поскольку в этой модели удалось отразить многие особенности языковых моделей и действий человека на их основе.
Ряд ситуаций выбора характеризуется расплывчатой неопределенностью. Рассмотрено несколько различных вариантов таких ситуаций; функции принадлежности в них имеют разный смысл (либо сами служат критериями, либо описывают размытость некоторого параметра критериальной функции). Естественно, это приводит к разным алгоритмам выбора.
Рис. 6.3.
Рис. 6.4
Рис. 6.5
Рис. 6.6.
«восстановления»
Рис. 6.7.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.021 сек.) |