Элементы кинематики вращательного движения

Движение твёрдого тела, закреплённого в одной точке, называется вращением вокруг неподвижной точки – центра вращения. Движение твёрдого тела, при котором все точки описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называется вращением вокруг неподвижной оси. Координатой в этом случае является угол поворота φ (рис 1.4).

Рисунок 1.4 – Вращение вокруг неподвижной оси

Из рисунка 1.4 видно, что

. (1.16)

Введем вектор , где – угол, на который повернулось тело, а – единичный вектор, направленный по оси вращения, и направление которого связано с направлением вращения правилом правого винта. Тогда в сокращённом виде, вместо выражения (1.16), можно записать:

. (1.17)

Здесь квадратными скобками обозначено векторное произведение двух векторов. Модуль векторного произведения равен произведению модулей сомножителей, умноженному на синус угла между ними. Напомним также, что направление вектора, равного векторному произведению двух векторов, определяется по правилу правого винта.[1]

Первая производная по времени от угла поворота называется угловой скоростью:

, (1.18)

а первая производная от угловой скорости называется угловым ускорением:

. (1.19)

В проекции на ось вращения z:

и . (1.20)

Векторы, подобные , и , направление которых связывается с направлением вращения, называются аксиальными, или псевдовекторами. Эти вектора не имеют точки приложения, в отличие от истинных векторов.

Для вращения относительно неподвижной оси с постоянным ускорением имеем

.(1.21)

Интегрируя, получим

. (1.22)

Интегрируя выражение (1.22) по времени, получим зависимость угла поворота от времени:

. (1.23)

Отметим полную аналогию между формулами для координат и скорости для поступательного и вращательного движений: формул (1.14) и (1.22) и, соответственно, (1.15) и (1.23).

Найдём скорость произвольной точки А (см. рис. 1.4). Для этого разделим выражение (1.17) на dt:

. (1.24)

Модуль вектора скорости

, (1.25)

где R – радиус окружности, по которой движется точка А. Найдём ускорение точки А:

. (1.26)

В случае, когда ось вращения неподвижна, вектор параллелен вектору , и поэтому вектор направлен в сторону скорости , т.е. по касательной к траектории в точке А и представляет собой тангенциальное ускорение

. (1.27)

Второе слагаемое в выражении (1.26) представляет собой нормальное ускорение

. (1.28)

Модули тангенциального и нормального ускорений равны, соответственно,

, , (1.29)

а модуль полного ускорения

. (1.30)

Для равномерного вращения (с постоянной угловой скоростью) можно ввести период обращения T – время совершения одного оборота. Для такого вращения угловая скорость будет, очевидно, равна , а число оборотов за единицу времени .

Поиск по сайту: