Дифференциальные уравнения первого порядка. Тема 3.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 3.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Основные понятия.

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. (Темп изменения расстояния со временем определяется скоростью; следовательно, скорость - производная от расстояния; аналогично, ускорение - производная от скорости, так как ускорение задает темп изменения скорости со временем.) Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач. Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этих функций. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Например,

- обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

- обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

- дифференциальное уравнение в частных производных.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения 1-го порядка называется интегральной кривой этого уравнения. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такое его решение, содержащее произвольные постоянные, из которого любое решение может быть получено при соответствующем подборе произвольных постоянных.

Определение. Всякое решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при конкретном значении константы, называется частным решением дифференциального уравнения.

Определение. Задача, в которой требуется найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию, называется задачей Коши.

Общему решению на плоскости соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию - кривая этого семейства, проходящая через точку

Встречаются дифференциальные уравнения, имеющие такие решения, которые не получаются из общего решения ни при каких значениях С. Такие решения называются особыми.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Поиск по сайту: