АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Читайте также:
  1. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  2. II. САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: МЕТАФОРА УНИВЕРСАЛЬНОГО ПОРЯДКА
  3. IV.1. Общие начала частной правозащиты и судебного порядка
  4. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  5. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  6. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  7. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  8. V2: Применения уравнения Шредингера
  9. V2: Уравнения Максвелла
  10. VI Дифференциальные уравнения
  11. Адаптивная полиномиальная модель первого порядка
  12. Алгебраические уравнения

Определение. Уравнение вида называется однородным, если - однородные функции одного измерения.

Определение. Функция f(x;y) называется однородной измерения m, если

Как на практике распознать однородное уравнение? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:

В исходное уравнение вместо x подставляем lx, вместо y подставляем ly, производную не трогаем.

Если в результате преобразований удастся сократить ВСЕ «лямбды» (т.е. получить исходное уравнение), то данное дифференциальное уравнение является однородным.

Например, рассмотрим дифференциальное уравнение и определим его тип.

Вместо x подставляем lx, вместо y подставляем ly:

Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени:

Теперь в правой части выносим лямбду за скобки:

Обе части уравнения можно сократить на эту самую лямбду:

В результате все лямбды исчезли, и мы получили исходное уравнение.

Вывод: Данное уравнение является однородным.

Как же решить подобные дифференциальные уравнения? Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной стандартной замены:

Функцию «игрек» необходимо заменить произведением некоторой функции t (тоже зависящей от «икс») и «икса»:

Производная при такой замене вычисляется с использованием правила дифференцирования произведения, т.е.:

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)