АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Доказательство. По определению собственные векторы являются ненулевыми, поэтому теорема верна

Читайте также:
  1. Абсолютное доказательство
  2. Глава 4. Социальное доказательство.
  3. Доказательство
  4. Доказательство
  5. Доказательство
  6. Доказательство
  7. Доказательство
  8. Доказательство
  9. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
  10. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
  11. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Индукция по m.

По определению собственные векторы являются ненулевыми, поэтому теорема верна

для m = 1.

Предположим, что теорема верна для любой системы из m- 1 собственных векторов.

Докажем, что теорема верна для m векторов.

Составим уравнение:

(1)

Подействуем на обе части (1) оператором , так как — линейный оператор, то получим

(2)

(2) принимает вид:

(3)

Умножим (1) на и вычтем из (3):

(4)

По предположению векторы линейно независимы, поэтому слева в (4) — тривиальная линейная комбинация, то есть

Так как собственные значения попарно различны, то из последних равенств следует, что Тогда (2) принимает вид: но значит Таким образом, слева в (1) векторы линейно независимы. Что требовалось доказать.

Следствие: Любой линейный оператор, действующий в n-мерном векторном пространстве, не может иметь больше n попарно различных собственных значений.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.002 сек.)