|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Доказательство. По определению собственные векторы являются ненулевыми, поэтому теорема верна
Индукция по m. По определению собственные векторы являются ненулевыми, поэтому теорема верна для m = 1. Предположим, что теорема верна для любой системы из m- 1 собственных векторов. Докажем, что теорема верна для m векторов. Составим уравнение: (1) Подействуем на обе части (1) оператором , так как — линейный оператор, то получим (2)
(2) принимает вид: (3) Умножим (1) на и вычтем из (3): (4) По предположению векторы линейно независимы, поэтому слева в (4) — тривиальная линейная комбинация, то есть
Так как собственные значения попарно различны, то из последних равенств следует, что Тогда (2) принимает вид: но значит Таким образом, слева в (1) векторы линейно независимы. Что требовалось доказать. Следствие: Любой линейный оператор, действующий в n-мерном векторном пространстве, не может иметь больше n попарно различных собственных значений. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.) |