 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Теорема. Для того, чтобы существовал базис, в котором матрица оператора является диагональной, необходимо и достаточно
Для того, чтобы существовал базис, в котором матрица оператора 
является диагональной, необходимо и достаточно, чтобы размерности подпространств собственных векторов были равны кратностям соответствующих собственных значений как корней характеристического многочлена оператора .
Задача. Можно ли матрицу А линейного оператора линейного пространства V(P) привести к диагональному виду путем перехода к новому базису? Если можно, то найти этот базис и соответствующую ему матрицу.
а) 
б) 
с) 
d) 
Решение. Для каждой матрицы найдем характеристический многочлен 
а) 
b) 
c) 
d) 
В случае а) не все корни многочлена 
действительны и, следовательно, матрица А не подобна диагональной матрице с действительными элементами.
В случае b) корнями многочлена 
являются различные действительные числа 
оператор с простым спектром, его матрица приводится к диагональному виду:
(по диагонали расположены собственные значения оператора ) в базисе 
где 
— собственный вектор, принадлежащий собственному значению 
Найдем такие векторы.
Общее решение: 
фундаментальная система решений:
| х 1 | х2 | х 3 |
| (0 | 0) = а i |
Множество собственных векторов для 
— это 
\ 
.
.
Общее решение: 
фундаментальная система решений:
| х 1 | х 2 | х 3 |
| (-2 | -3)= а 2 |
\ — это множество собственных векторов для 
.
Общее решение: 
Фундаментальная система решений
| х 1 | х 2 | х 3 |
| (-2 | 0)= а 3 |
\ — это множество собственных векторов для 
Векторы 
образуют базис 
в котором оператор имеет матрицу
В случаях с) и d) по виду многочлена нельзя сказать, будет ли матрица подобна диагональной, так как имеются кратные корни. В этих случаях необходимо выяснить, сколько линейно независимых собственных векторов имеет собственное значение, являющееся кратным корнем многочлена 
с). 
— двукратный корень. Найдем для него множество собственных векторов из условия 
Общее решение: 
Размерность пространства решений этой системы равна n-r (п — числонеизвестных,
r — ранг матрицы системы), то есть 3 - 1 = 2 — совпадает с кратностью собственного значения. Фундаментальная система решений:
| х 1 | х 2 | х 3 |
| (1 (0 | 2) = а 1 0) = а 2 |
а 1, а 2 - линейно независимы. Множество собственных векторов L(a1,a2)\ .
В этом случае матрица может быть приведена к диагональному виду
в базисе а 1, а 2, а 3, где а 1, а 2 — найденные векторы, а 3 — собственный вектор, принадлежащий простому собственному значению Его найдем из системы:
Общее решение: 
Фундаментальная система решений:
| х 1 | х 2 | х 3 |
| (1 | -3) = а 3 |
\ — множество собственных векторов для
d). 
- двукратный корень многочлена 
Найдем для него множество собственных векторов из условия 
Общее решение: 
.
Размерность пространства решений этой системы равна 3 – 2 = 1, не совпадает с кратностью собственного значения 
в этом случае матрица А не может быть приведена к диагональному виду путем перехода к новому базису.
ЛИТЕРАТУРА
Поиск по сайту: